Question

докажите что в кубе ABCDA1B1C1D1 данные прямая и плоскость перпендикулярны : а)АА1 и АВС, б)АВ и ВСС1, в)АВ1 и ВСD1​

Answer 1

Решение:

а)

AA₁ ⊥ AB, AA₁ ⊥ AD и AD ║ BC (по условию)⇒ AA₁ ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

б)

AB ⊥ BC,  (по условию), AB ⊥ BB₁ и BB₁ ║ CC₁ (по условию) ⇒ AB ⊥ (BCC₁) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

в) (зеленые линии на чертеже)

AB₁ ⊥ A₁B и A₁B ║ CD₁ ⇒ AB₁ ⊥ CD₁ (1)

BC ⊥ (ABB₁) и AB₁ ⊂ (ABB₁) ⇒ BC ⊥ AB₁ (2)

(1) и (2) ⇒ AB₁ ⊥ (BCD₁) - признак!

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности данных прямых и плоскости в кубе ABCDA1B1C1D1, мы можем использовать геометрические свойства и определения.

Для начала, давайте определим, что такое перпендикулярность. Две линии (или прямая и плоскость) называются перпендикулярными друг к другу, если угол между ними равен 90 градусов.

а) Первая пара: АА1 и АВС

• Вершина A лежит на прямой АА1.
• Вершины A, B и C лежат на одной плоскости ABC, потому что они являются вершинами куба.
• Если вершина A лежит на прямой АА1, а вершины A, B и C лежат на плоскости ABC, то прямая АА1 пересекает плоскость ABC в точке A.
• Поскольку точка A лежит и на прямой АА1, и на плоскости ABC, это означает, что прямая АА1 пересекает плоскость ABC в прямом угле (90 градусов).
• Следовательно, прямая АА1 и плоскость ABC перпендикулярны.

б) Вторая пара: АВ и ВСС1

• Вершины A, B и C лежат на плоскости ABC, потому что они являются вершинами куба.
• Вершина B лежит на прямой АВ.
• Вершины C и C1 лежат на прямой ВСС1.
• Если вершины B и C лежат на плоскости ABC, а вершина B лежит на прямой АВ и вершины C и C1 лежат на прямой ВСС1, то прямая АВ пересекает прямую ВСС1 в точке B, а плоскость ABC пересекает плоскость ВСС1 в прямой ВС.
• Так как прямая АВ пересекает прямую ВСС1 в точке B, это означает, что прямая АВ и прямая ВСС1 пересекаются под углом 90 градусов.
• Следовательно, прямая АВ и плоскость ВСС1 перпендикулярны.

в) Третья пара: АВ1 и ВСD1

• Вершины A и D1 лежат на прямой АВ1.
• Вершины A, B и D лежат на одной плоскости ABD, потому что они являются вершинами куба.
• Если вершины A и D1 лежат на прямой АВ1, а вершины A, B и D лежат на плоскости ABD, то прямая АВ1 пересекает плоскость ABD в прямой AD1.
• Поскольку точки A и D1 лежат на прямой АВ1, и прямая AD1 лежит в плоскости ABD, то прямая АВ1 пересекает плоскость ABD в прямом угле (90 градусов).
• Следовательно, прямая АВ1 и плоскость ABD перпендикулярны.

Итак, мы доказали, что в каждой из указанных пар данных прямых и плоскости они перпендикулярны друг другу в кубе ABCDA1B1C1D1.