Question

Срочно!! Помогите, не могу решить... Дам 35 баллов Сфера задана уравнением x² + y² + z² - 4x + 6y = 36. а) Найдите координаты центра и радиус сферы. б) Каково взаимное расположение сферы и плоскости x = −6?

Answer 1

Ответ:

Приводим к виду:

(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=36-9-4

(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=23

(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=(sqrt(23))^2

Радиус сферы sqrt(23 (квадратный корень из 23)

Центр сферы имеет координаты (2, -3, 0)

При х=-6  (y+3)^2+z^2=23-64<0 , что невозможно. Значит сфера не пересекает и не касается плоскости.

Answer 2

Давайте решим задачу по порядку.

а) Найдем координаты центра и радиус сферы. Сначала преобразуем уравнение сферы в стандартную форму (x - h)² + (y - k)² + (z - l)² = r², где (h, k, l) - координаты центра сферы, а r - радиус.

Уравнение вашей сферы: x² + y² + z² - 4x + 6y = 36.

Переносим все члены на одну сторону и завершаем квадратное выражение для каждой переменной:

(x² - 4x) + (y² + 6y) + z² = 36.

Чтобы завершить квадратное выражение для x и y, мы добавим и вычтем половину коэффициента при x и y, соответственно, а затем добавим это значение в обе стороны уравнения:

(x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) + z² = 36 + 4 + 9.

Теперь мы имеем полные квадратные выражения для x и y:

(x - 2)² + (y + 3)² + z² = 49.

Сравнивая это с уравнением стандартной сферы, мы видим, что координаты центра сферы (h, k, l) равны (2, -3, 0), а радиус (r) равен корню из 49, то есть r = 7.

Итак, координаты центра сферы: (2, -3, 0), а радиус сферы: 7.

б) Теперь давайте определим взаимное расположение сферы и плоскости x = -6. Плоскость x = -6 - это горизонтальная плоскость, параллельная плоскости XY и проходящая на расстоянии -6 единиц от начала координат.

Сфера имеет центр в точке (2, -3, 0), и радиус равен 7. Плоскость x = -6 находится на расстоянии 6 единиц слева от начала координат. Если мы посмотрим на координаты центра сферы (2, -3, 0), то заметим, что x-координата центра сферы больше, чем -6, но меньше, чем -6 + 7 = 1 (где 7 - радиус сферы). Это означает, что сфера пересекает плоскость x = -6.

Итак, сфера пересекает плоскость x = -6.