Question

Плоскости α и β пересекаются под углом, косинус которого равен 0,3. Плоскости β и γ пересекаются под прямым углом, причём линия пересечения плоскостей α и β параллельна линии пересечения плоскостей β и γ.Найдите синус угла между плоскостями α и γ.

Answer 1

Ответ:

0,3

Объяснение:

Проведем плоскость, перпендикулярную линиям пересечения плоскостей α и β, β и γ, α и γ.

ΔАВС прямоугольный,

cos ∠B = 0,3 по условию.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то синус угла А равен косинусу угла В:

sin∠A = cos ∠B = 0,3

Answer 2

Для нахождения синуса угла между плоскостями α и γ, нам нужно воспользоваться формулой для синуса угла между двумя векторами в пространстве.

Пусть вектор n1 - нормаль к плоскости α, а вектор n3 - нормаль к плоскости γ. Мы знаем, что угол между плоскостями β и γ прямой, поэтому векторы n2 (нормаль к плоскости β) и n3 ортогональны друг другу.

Теперь у нас есть два вектора: n1 и n3, и мы хотим найти синус угла между ними. Формула для синуса угла между двумя векторами a и b:

sin(θ) = |a × b| / (|a| * |b|),

где × обозначает векторное произведение, |a| - длину вектора a, и |b| - длину вектора b.

Так как n2 и n3 ортогональны друг другу, их векторное произведение равно:

n2 × n3 = |n2| * |n3| * sin(90°) * u,

где u - единичный вектор.

Поскольку sin(90°) равен 1, мы можем сказать, что:

n2 × n3 = |n2| * |n3| * u.

Теперь, чтобы найти синус угла между плоскостями α и γ (sin(θ)), нам нужно найти синус угла между n1 и n3:

sin(θ) = |n1 × n3| / (|n1| * |n3|).

Мы знаем, что косинус угла между плоскостями α и β равен 0,3, что означает, что косинус угла между нормалями n1 и n2 равен 0,3. Так как угол между ними прямой, мы можем использовать соотношение:

cos(90°) = 0,3,

чтобы найти синус угла:

sin(90°) = √(1 - cos²(90°)) = √(1 - 0,3²) = √(1 - 0,09) = √0,91 ≈ 0,953.

Итак, синус угла между плоскостями α и γ равен примерно 0,953.