Question

Точка S удалена от каждой из вершин равностороннего треугольника АВС на 2 см .Сторона треугольника АВС =3 см .найти угол наклона ребра SB к плоскости АВС

Answer 1

Ответ:

Угол наклона ребра SB к плоскости АВС составляет 30°

Объяснение:

Дано:

SA = SB = SC = 2 см

a = АВ = ВС = АС = 3 см

Найти:

α - угол наклона SB к плоскости ΔАВС

Решение:

Фигура SABC представляет собой правильную пирамиду с основанием в виде равностороннего ΔАВС

Высота основания пирамиды

h = 0.5a√3 = 0.5 · 3 · √3 = 1.5√3 (см)

Основание высоты пирамиды H, опущенной из вершины S на плоскость треугольника является центром окружности радиуса R, описанной около треугольного основания

R = 2/3 h = 2/3 · 1.5√3 = √3 (см)

Ребро SB, высота Н пирамиды и радиус R составляют прямоугольный треугольник с гипотенузой SB. Радиус R и ребро SB образуют искомый угол α, поэтому

cos α = R : SB  = √3 : 2

α = 30°

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать геометрические свойства равностороннего треугольника и найденное расстояние от точки S до его вершин. Для начала, найдем координаты вершин треугольника АВС и точки S.

Пусть точка A находится в начале координат (0,0). Тогда вершина B будет находиться в точке (3,0), так как сторона треугольника АВС равна 3 см. Также, точка C будет иметь координаты (1.5, 2.598), где 2.598 - это высота равностороннего треугольника, найденная как (3/2) * sqrt(3).

Теперь, учитывая, что точка S находится на расстоянии 2 см от каждой из вершин треугольника, мы можем найти ее координаты. Поскольку треугольник равносторонний, точка S будет находиться посередине между точкой A и точкой C. Таким образом, координаты точки S будут (0.75, 1.299), где мы берем среднее значение координат x и y для точек A и C.

Теперь, чтобы найти угол наклона ребра SB к плоскости АВС, мы можем воспользоваться скалярным произведением векторов SB и нормали к плоскости треугольника АВС. Нормаль к плоскости треугольника можно найти как вектор, полученный из векторного произведения векторов AB и AC.

Вектор AB = (3, 0) - (0.75, 1.299) = (2.25, -1.299) Вектор AC = (1.5, 2.598) - (0.75, 1.299) = (0.75, 1.299)

Теперь найдем векторную нормаль к плоскости треугольника:

Нормаль = AB x AC, где x обозначает векторное произведение.

Нормаль = (2.25, -1.299) x (0.75, 1.299) = (0, 0, 4.23425)

Теперь мы имеем вектор SB = (0.75, 1.299), и нормаль к плоскости треугольника (0, 0, 4.23425).

Скалярное произведение SB и нормали будет:

SB · Нормаль = (0.75, 1.299) · (0, 0, 4.23425) = 0 + 0 + (1.299 * 4.23425) = 5.49987

Теперь, чтобы найти угол между SB и нормалью, используем формулу скалярного произведения:

cos(θ) = (SB · Нормаль) / (|SB| * |Нормаль|)

где θ - угол между SB и нормалью, |SB| - длина вектора SB, и |Нормаль| - длина нормали к плоскости.

|SB| = sqrt(0.75^2 + 1.299^2) = sqrt(1.6850625 + 1.6873001) = sqrt(3.3723626) ≈ 1.838 |Нормаль| = sqrt(0^2 + 0^2 + 4.23425^2) = sqrt(17.97275106) ≈ 4.233

Теперь мы можем найти cos(θ):

cos(θ) = 5.49987 / (1.838 * 4.233) ≈ 0.654

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(0.654) ≈ 50.73 градусов

Таким образом, угол наклона ребра SB к плоскости треугольника АВС составляет приблизительно 50.73 градусов.