Question

В треугольнике АВС угол А = 45 градусов, АВ =8 корней из 2 и АС = 18. Координатным методом найдите медианы

Answer 1

Дан треугольник АВС, угол А = 45 градусов, АВ =8 √2 и АС = 18.

Поместим его в прямоугольную систему координат точкой А в начало, точка В на оси Ох.

х(В) = AB*cos A = 8√2*(√2/2) = 8.

y(B) = AB*sin A = 8√2*(√2/2) = 8.

Получили координаты вершин.

А(0; 0), В(8; 8), С(18; 0).

Находим векторы сторон.

Координаты векторов    

АВ                ВС             АС  

х       у             х      у                 х у

8      8            10    -8                18     0.

По свойству векторов медиана как половина диагонали параллелограмма на векторах сторон равна половине суммы векторов сторон.

Медианы    

АА1                ВВ1                 СС1  

х      у           х       у               х     у

13    4           1      -8             -14      4.

Модули (длины) медиан равны:

|AA1| = √(13² + 4²) = √(169 + 16) = √185 ≈ 13,60147.

|BB1| = √(1² + (-8)²) = √(1 + 64) = √65 ≈ 8,06226.

|CC1| = √((-14)² + 4²) = √(196 + 16) = √212 ≈ 14,56022.

Answer 2

Для нахождения медиан треугольника ABC, давайте сначала найдем координаты его вершин. Поскольку угол A равен 45 градусам, треугольник ABC будет прямоугольным. Мы знаем, что длина стороны AB равна 8√2, и длина стороны AC равна 18.

Давайте предположим, что точка A имеет координаты (0, 0), так как это удобно для координатного метода. Теперь мы можем найти координаты точек B и C.

Поскольку B находится на стороне AB, и мы знаем, что AB = 8√2, координаты B будут (8√2, 0).

C находится на стороне AC, и мы знаем, что AC = 18, поэтому координаты C будут (0, 18).

Теперь у нас есть координаты всех вершин треугольника: A(0, 0), B(8√2, 0) и C(0, 18).

Медиана треугольника - это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Давайте найдем координаты середины стороны BC.

Середина стороны BC будет иметь координаты ((8√2 + 0) / 2, (0 + 18) / 2) = (4√2, 9).

Таким образом, медиана, проведенная из вершины A к середине стороны BC, будет проходить через точки A(0, 0) и M(4√2, 9). Уравнение этой медианы можно найти, используя уравнение прямой, которое можно записать в виде:

y = mx + b,

где m - наклон медианы, и b - y-перехват.

Чтобы найти уравнение медианы, нам нужно найти значение m и b. Мы можем найти наклон m, используя координаты двух точек A и M:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (9 - 0) / (4√2 - 0) = 9 / (4√2) = (9√2) / 8.

Теперь, используя координаты точки M(4√2, 9) и значение m, мы можем найти b:

9 = (9√2 / 8) * 4√2 + b, 9 = (9√2 / 2) + b, b = 9 - (9√2 / 2) = 9 - (9√2 / 2).

Таким образом, уравнение медианы, проведенной из вершины A, будет:

y = (9√2 / 8)x + 9 - (9√2 / 2).

Это уравнение медианы в координатной форме.