Question

У рівнобедреному трикутнику ABC на бічних сторонах АВ і ВС позначили відповідно точки N і М так, що кут МАВ = кут NCB . Доведіть, що AN = CM.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Розглянемо ∆ANС і ∆СМА.

У них: 1) АС-загальна;

2) кут A = кутку С (за властивістю);

3) кут NCA = кут С - кут NCB

кут МАС = кут A - кут мав

кут NCB = кут МАВ (за умовою) і кут С = кут А (за властивістю) = > кут NCA = кут МАС.

Значить, ∆АNC=∆СМА (по стороні і прилеглим до неї кутах)

З рівності ∆ => АN = CM

Answer 2

Для доведення, що AN = CM, спробуйте використати співмірність трикутників.

Ми знаємо, що кут МАВ = кут NCB. Тобто, ми маємо подібність трикутників MAV і NCB за спільним кутом і двома пропорціональними сторонами.

Зараз давайте позначимо AN як "x" і CM як "y". Отже, ми можемо записати співвідношення:

AN / CM = MA / CB

Зараз нам потрібно знайти співвідношення між MA і CB. Ви можете помітити, що MA - це бічна сторона трикутника MAV, а CB - це бічна сторона трикутника NCB. Але ми також знаємо, що MAV і NCB є подібними трикутниками, тому співвідношення сторін у цих трикутниках рівні співвідношенню їх баз:

MA / CB = AV / CN

Зараз ми можемо об'єднати ці два співвідношення:

AN / CM = MA / CB = AV / CN

Тепер давайте перетворимо останнє співвідношення так, щоб отримати AN і CM:

AN / CM = AV / CN

Переносимо CM на одну сторону і AN на іншу:

AN / AV = CM / CN

Тепер ми можемо помітити, що AN / AV і CM / CN - це співвідношення двох сторін одного і того ж подібного трикутника ACV, тому вони рівні:

AN / AV = CM / CN = AC / CV

Тепер врахуємо, що AC і CV - це дві рівні сторони подібного трикутника ACV, тобто AC = CV. З цього випливає, що:

AN / AV = CM / CN

Ми бачимо, що ліва і права частини останнього виразу рівні. Отже, ми маємо AN = CM, як і потрібно було довести.