Question

Помогите пожалуйста!!!!!!! Із вершини А рівнобедреного трикутника ABC проведено пер¬пендикуляр AM до площини трикутника. Знайдіть відстань від точки М до прямої ВС, якщо АС= АВ = = 15 см, СВ = 18 см, AM = 16 см. А) 20 см; Б) 15 см; В) 18 см; Г) 2 см.

Answer 1

Ответ:

MK = 20 см

Объяснение:

Дано: AC = AB = 15 см, BC = 18 см, AM ⊥ ABC, MK ⊥ BC, AM = 16 см

Знайти: MK - ?

Розв'язання: Так як за умовою AM ⊥ ABC, то за означенням перпендикулярності прямої до площини: пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у цій площині, отже так як AM ⊥ ABC і AK ⊂ ABC, то AM ⊥ AK. За теоремою про три перпендикуляри так як MK ⊥ BC за умовою і AM ⊥ AK, а також так як AK - проекції похилої MK на площину ABC (з трикутника ΔMAK, який є прямокутним, так як AM ⊥ AK, отже ∠KAM = 90°), то AK ⊥ BC. Розглянемо трикутник ΔABC. Так як AK ⊥ BC, то AK - висота трикутника ΔABC, проведена до основи BC (BC - основа рівнобедреного трикутника ΔABC, так як за умовою АС = АВ). За теоремою висота рівнобедрего трикутника проведена до основи є медіаною і бісектрисою, отже BK = KC так як AK - медіана. Так як

BK = KC і BK + KC = BC (за основною властивістю відрізка), то

BK = KC = BC : 2 = 18 : 2 = 9 см. Розглянемо прямокутний трикутник ΔBKA (AK ⊥ BC). За теоремою Піфагора: $AK = \sqrt{AB^{2} - BK^{2}} = \sqrt{15^{2} - 9^{2}} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ см.

Розглянемо прямокутний трикутник ΔMAK. За теоремою Піфагора: $MK = \sqrt{AK^{2} + AM^{2}} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Answer 2

Давайте спробуємо знайти відстань від точки M до прямої BC за допомогою подібності трикутників.

Позначимо точку, де відстань від M до BC перетинає BC, як D.

Ми маємо два подібні трикутники: трикутник AMB і трикутник ADC, оскільки кути AMB і ADC прямі (перпендикулярні до BC), і кути BMA і CDA спільні за принципом вертикальних кутів.

Тепер ми можемо скласти пропорцію між відношеннями сторін цих трикутників:

(AB / AD) = (BM / DC)

Знаємо значення AB (15 см) і BM (половина BC, тобто 18 см / 2 = 9 см), і ми шукаємо AD.

(15 / AD) = (9 / DC)

Ми також знаємо, що AM = 16 см. Ми можемо розглядати трикутник ADC та трикутник AMC, як подібні (знову за рахунок вертикальних кутів):

(AD / AM) = (DC / MC)

Ми знаємо значення AM (16 см), і нам потрібно знайти DC.

(AD / 16) = (DC / MC)

Ми бачимо, що в пропорціях маємо дві невідомі величини AD і DC, та два рівні числа 16 і MC. Ми можемо використовувати обидва пропорції для знаходження AD та DC.

З першої пропорції (15 / AD) = (9 / DC), ми можемо виразити AD:

AD = (15 * DC) / 9

З другої пропорції (AD / 16) = (DC / MC), ми можемо виразити DC:

DC = (AD * MC) / 16

Тепер ми можемо підставити значення AD з першої пропорції в другу:

DC = ((15 * DC) / 9) * MC / 16

Тепер ми можемо спростити це рівняння:

DC^2 = (15 * DC * MC) / (9 * 16)

Тепер ми можемо підставити значення MC (MC = 16 - AM, MC = 16 - 16, MC = 0) і розв'язати рівняння для DC:

DC^2 = (15 * DC * 0) / (9 * 16) DC^2 = 0

З цього випливає, що DC = 0.

Отже, відстань від точки M до прямої BC (точка D) дорівнює 0 см.

Правильна відповідь: Г) 0 см.