Question

ABCDA1B1C1D1 — куб. Докажите, что прямая AC перпендикулярна к плоскости, которая проходит через точки B,B1,D1 (c рисунком)

Answer 1

Ответ:

1)Все грани куба– квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1– проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1

Треугольник A1BC1– равносторонний, Проведем высоту ВК (К– точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.

Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)–KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3– B1M)=1:2 B1M=√3/3

В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK– прямой

Итак, B1D– перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.

2) Плоскость АВ1С1– это плоскость АB1C1D Плоскость A1B1C– это плоскость A1B1CD

Две эти плоскости имеют общие точки B1 и D. Значит пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

Чтобы построить линейный угол двугранного угла проводим к прямой B1D перпендикуляры AE и EC. AE=EC– высоты прямоугольных треугольников с катетами 1 и √2 и гипотенузой √3 АЕ=ЕС=1•√2/√3=√(2/3)

Из треугольника АСЕ по теореме косинусов АС²=АЕ²+ЕС²–2•АЕ•ЕС•cos ∠AEC (√2)²=(√(2/3))²+(√(2/3))²–2•(√(2/3))•(√(2/3))•cos ∠AEC cos ∠AEC=–1/2 ∠AEC=120°

Answer 2

Для доказательства того, что прямая AC перпендикулярна к плоскости, проходящей через точки B, B1 и D1, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем координаты точек B, B1 и D1 в трехмерном пространстве (x, y, z).

2. Найдем векторы, соединяющие эти точки, то есть векторы BB1, BD1 и BA (где A - это точка A).

3. Для определения, являются ли векторы BB1 и BD1 нормальными к плоскости, или они лежат в этой плоскости, можно взять их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны этой плоскости.

Сначала найдем координаты точек:

A (x1, y1, z1) B (x2, y2, z2) B1 (x3, y3, z3) D1 (x4, y4, z4)

Теперь вычислим векторы:

Вектор BB1: BB1 = (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2)

Вектор BD1: BD1 = (x4 - x2, y4 - y2, z4 - z2)

Теперь вычислим скалярное произведение векторов BB1 и BD1:

BB1 * BD1 = (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2) * (x4 - x2, y4 - y2, z4 - z2)

Скалярное произведение двух векторов (a, b, c) и (d, e, f) можно вычислить следующим образом:

a * d + b * e + c * f

Применяя эту формулу, мы получим:

BB1 * BD1 = (x3 - x2)(x4 - x2) + (y3 - y2)(y4 - y2) + (z3 - z2)(z4 - z2)

Если это скалярное произведение равно нулю, то векторы BB1 и BD1 перпендикулярны друг к другу и, следовательно, лежат в одной плоскости. Таким образом, прямая AC будет перпендикулярной этой плоскости.