Question

Докажите следующее утверждение: Если биссектриса, опущенная из одной из вершин треугольника является также его высотой, то этот треугольник равнобедренный. Сформулируйте теорему, обратную этой.​

Answer 1

Ответ:

У равнобедренного треугольника биссектриса проведённая к основанию, является его медианой и высотой

Answer 2

Теорема: Если биссектриса, опущенная из одной из вершин треугольника, является также его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC, в котором биссектриса, опущенная из вершины A (соответствующая углу A), также является его высотой. Пусть BD - биссектриса, а AH - высота, и они совпадают.

Докажем равенство двух боковых сторон треугольника ABC, то есть AB = AC.

1. По условию, высота AH является перпендикуляром к стороне BC, и BD является биссектрисой угла A. Так как AH и BD совпадают, то угол BAD равен углу CAD, так как они являются одним и тем же углом.

2. Рассмотрим два треугольника AHB и AHC. У них общая сторона AH, общий угол при вершине A, и угол BAH равен углу CAH из-за равенства углов BAD и CAD.

3. По теореме о равных треугольниках (УГЛ - Угол, ГУГЛ - Гипотенуза, ГУГЛ), треугольники AHB и AHC равны. Следовательно, их гипотенузы AB и AC равны.

4. Таким образом, мы доказали, что AB = AC, и треугольник ABC является равнобедренным.

Обратная теорема:

Если треугольник ABC равнобедренный, то биссектриса, опущенная из вершины A (соответствующей углу A), является также его высотой.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть BD - биссектриса угла A, опущенная из вершины A, и AH - высота, проведенная из вершины A.

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC равен углу ABC.

2. Рассмотрим два треугольника ABD и ACD. У них общая сторона AD, общий угол при вершине A, и угол BAD равен углу CAD из-за равенства углов BAC и ABC.

3. По теореме о равных треугольниках (УГЛ - Угол, ГУГЛ - Гипотенуза, ГУГЛ), треугольники ABD и ACD равны. Следовательно, их гипотенузы BD и CD равны.

4. Так как BD и CD равны, биссектриса BD, опущенная из вершины A, также является высотой треугольника ABC.

Таким образом, если треугольник ABC равнобедренный, то биссектриса, опущенная из вершины A, также является его высотой.