Question

На сторонах треугольника ABC взяты точки M,N,P так,что они делят стороны AB,BC,CA в отношении 1:2, считая с вершины A,B,C. Найдите площадь треугольника MNP, если известно,что площадь треугольника ABC равна S​

Answer 1

Ответ:

$S_{MNP}=\dfrac{S}{3}$

Объяснение:

Обозначим стороны треугольника:

АВ = с

AC = b

BC = a

Площадь треугольника АВС:

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}ab\cdot \sin C=\dfrac{1}{2}bc\cdot \sin A=\dfrac{1}{2}ac\cdot \sin B=S$

Площади "отсекаемых треугольников":

$S_1=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{c}{3}\cdot \dfrac{2b}{3}\cdot \sin A=\dfrac{bc}{9}\cdot \sin A$

$S_2=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a}{3}\cdot \dfrac{2c}{3}\cdot \sin B=\dfrac{ac}{9}\cdot \sin B$

$S_2=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{b}{3}\cdot \dfrac{2a}{3}\cdot \sin C=\dfrac{ab}{9}\cdot \sin C$

Найдем, какую часть они составляют от площади треугольника АВС:

$\dfrac{S_1}{S_{ABC}}=\dfrac{bc}{9}\cdot \sin A:\left(\dfrac{1}{2}bc\cdot \sin A\right)=\dfrac{1}{9}\cdot 2=\dfrac{2}{9}$

$S_1=\dfrac{2}{9}S$

Аналогично,

$S_2=\dfrac{2}{9}S$

$S_3=\dfrac{2}{9}S$

Тогда площадь треугольника MNP:

$\boldsymbol{S_{MNP}}=S_{ABC}-S_1-S_2-S_3=S-3\cdot \dfrac{2}{9}S=S-\dfrac{2}{3}S=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}S}$

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника MNP, давайте сначала найдем координаты точек M, N и P. Поскольку точки M, N и P делят стороны AB, BC и CA в отношении 1:2, мы можем использовать координаты вершин треугольника ABC.

Допустим, координаты точек A, B и C равны A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3) соответственно.

Теперь найдем координаты точек M, N и P:

M находится на отрезке AB, который делится в отношении 1:2. Используя формулу для нахождения координат точки, разделенной в заданном отношении, мы можем найти координаты M:

M(xM, yM) = ((1 * x2 + 2 * x1) / 3, (1 * y2 + 2 * y1) / 3)

Аналогично для точек N и P:

N(xN, yN) = ((1 * x3 + 2 * x2) / 3, (1 * y3 + 2 * y2) / 3) P(xP, yP) = ((1 * x1 + 2 * x3) / 3, (1 * y1 + 2 * y3) / 3)

Теперь у нас есть координаты точек M, N и P. Давайте найдем площадь треугольника MNP, используя формулу площади треугольника Герона, так как у нас есть координаты вершин:

Площадь треугольника MNP (SMNP) = 0.5 * |xM(yN - yP) + xN(yP - yM) + xP(yM - yN)|

Теперь вычислим значения xM, yM, xN, yN, xP и yP, используя известные координаты вершин ABC и найденные формулы для M, N и P. Затем подставим эти значения в формулу площади и вычислим ее.

После вычисления площади треугольника MNP сможем использовать известную площадь треугольника ABC (S), чтобы найти отношение площадей S_MNP / S_ABC.