Question

У прямокутний трикутник вписане коло. Точка дотику кола до одного із катетів віддалена від вершини прямого кутана 7 см.Знайдіть радіус вписаного кола. пж помогите

Answer 1

Відповідь:

3 см

Пояснення:

Відомо, що коло, вписане в трикутник, точками дотику до сторін відділяє рівні відрізки зі сторони кожної вершини.

Також відомо, що висоти - радіуси, проведені із центра такого кола в прямокутному трикутнику до катетів утворюють з відрізками від точок дотику до вершини прямого кута квадрат зі стороною, рівною радіусу вписаного кола.

Згідно з умовою, позначимо AF як 2x, FB як 3x, тоді

r=9-2x

За теоремою Піфагора складемо рівняння:

9²+ (9-2х+3х)²=(2х+3х)²

81+(9+х)²=25х²

81+81+18х+х²-25х²=0

24х²-18х-162=0

4х²-3х-27=0

Дискрімінант: Д=9+4*4*27=441=21²

х₁=(3+21)/8=3 см

х₂=(3-21)/8=-2.25 см (не підходить).

Тоді r=9-2·3=3 см

Answer 2

Для вирішення цієї задачі нам знадобиться знання про властивості вписаних кол та прямокутних трикутників.

Спочатку ми маємо прямокутний трикутник зі сторонами a, b і гіпотенузою c, де a і b - катети, а c - гіпотенуза. За теоремою Піфагора маємо:

c² = a² + b²

Ми також знаємо, що коло вписане в цей трикутник. Це означає, що радіус кола (r) є відстанню від центру кола до одного з катетів. Ви можете позначити цю відстань як h.

Тепер ми маємо подібні трикутники, тобто малий трикутник, утворений радіусом кола, катетом (позначимо його як x) і відомою відстанню від вершини трикутника до точки дотику кола (7 см), і великий трикутник, утворений гіпотенузою, катетами і відомою відстанню від вершини до центру кола (h).

З подібності трикутників ми можемо записати таке співвідношення:

x / h = r / c

Тобто:

x / h = r / (a + b)

Ми знаємо, що x = 7 см (за умовою) і a, b, і c можуть бути знайдені з теореми Піфагора.

Знаючи значення a, b і c, ми можемо розв'язати це рівняння для r (радіуса кола).