Question

Сторона ромба дорівнює 4 см, а гострий кут — 60°. Точка М віддалена від Кожної сторони ромба на 5 см. Знайдіть відстань від точки М до площини ромба. Сторона ромба равна 4 см, а острый угол - 60 °. Точка М отделена от каждой стороны ромба на 5 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ромба.

Answer 1

Ответ:

√22 см

Объяснение:

МО - перпендикуляр к плоскости ромба, - искомое расстояние.

Проведем МК⊥АВ, МР⊥ВС, МН⊥CD, МЕ⊥AD.

В прямоугольных треугольниках MKO, MPO, MHO, MEO:

• МК = МР = МН = МЕ = 5 см по условию (расстояния от точки М до сторон ромба),
• МО - общий катет, значит треугольники равны по катету и гипотенузе.

Значит, ОК = ОР = ОН = ОЕ. Эти отрезки - проекции соответствующих наклонных на плоскость ромба. Тогда они перпендикулярны сторонам ромба по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

То есть, точка О равноудалена от сторон ромба. Значит О - центр вписанной в ромб окружности (точка пересечения диагоналей), а ОК, ОР, ОН и ОЕ - радиусы вписанной окружности.

Площадь ромба можно найти по формулам:

$S=a^2\cdot \sin\alpha$

где а - сторона ромба, α - угол ромба.

$S=pr$

где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

$pr=a^2\cdot \sin\alpha$

$p=\dfrac{1}{2}\cdot 4a=2a$

$2ar=}a^2\cdot \sin\alpha$

$r=\dfrac{1}{2}a\cdot \sin\alpha$

$a=4$ см

$\alpha =60^\circ$

$r=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ см

ΔМОК:  ∠МОК = 90°, МК = 5 см, ОК = r = √3 см .

По теореме Пифагора:

 $MO=\sqrt{MK^2-OK^2}=\sqrt{5^2-\sqrt{3}^2}=\sqrt{25-3}=\sqrt{22}$  см

Answer 2

Для знаходження відстані від точки М до площини ромба, спершу потрібно знайти висоту ромба, яка проходить через точку М і перпендикулярна до площини ромба.

1. Зауважте, що ромб можна поділити на дві рівні правильні трикутники, кожен з яких має гострий кут 60 градусів.

2. Знайдемо площу одного такого трикутника:

   Площа трикутника = (1/2) * сторона * сторона * sin(кут)

   Площа трикутника = (1/2) * 4 см * 4 см * sin(60°)

   Площа трикутника = (1/2) * 16 см^2 * √3/2

   Площа трикутника = 8 см^2 * √3

3. Тепер ми знаємо площу одного трикутника ромба, а також, що висота трикутника проходить через точку М і поділена на два рівні відрізки довжиною 5 см (від точки М до бокової сторони ромба). Тобто, висота трикутника дорівнює 5 см + 5 см = 10 см.

4. Тепер можемо знайти площу ромба:

   Площа ромба = 2 * Площа одного трикутника

   Площа ромба = 2 * 8 см^2 * √3 = 16 см^2 * √3

5. Для знаходження відстані від точки М до площини ромба, поділимо площу ромба на довжину висоти трикутника:

   Відстань від М до площини ромба = Площа ромба / Висота трикутника

   Відстань від М до площини ромба = (16 см^2 * √3) / 10 см = 1.6√3 см

Отже, відстань від точки М до площини ромба дорівнює приблизно 2.77 см (з округленням до двох десяткових знаків).