Question

Докажите, что точка лежащая на биссектрисе угла AOB находится на одинаковом расстоянии от прямых AO и BO

Answer 1

Ответ:

Решение:

Расстояние от точки М (на биссектрисе) до стороны угла измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на сторону угла.

∠МАО=∠МВО=90°

∠АОМ=∠ВОМ, так как ОМ- биссектриса.

Соответственно

∠АМО=90°-∠АОМ

∠ВМО=90°-∠ВОМ- как острые углы прямоугольного треугольника

Можем утверждать, что ∠АМО=∠ВМО,

По второму признаку равенства треугольников: сторона и два прилежащие к не угла( ОМ- общая, ∠АМО=∠ВМО и ∠АОМ=∠ВОМ)

ΔАОМ=ΔВОМ. В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, отсюда МА=МВ, что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте представим себе следующую ситуацию:

Пусть у нас есть точка C, которая лежит на биссектрисе угла AOB (то есть угол ACB равен углу BCO), и нам нужно доказать, что точка C находится на одинаковом расстоянии от прямых AO и BO.

Шаг 1: Построение вспомогательных линий.

1. Проведем отрезки AC и BC.

Шаг 2: Доказательство.

Мы хотим показать, что точка C находится на одинаковом расстоянии от прямых AO и BO. Это означает, что мы должны доказать, что длины перпендикуляров, проведенных из точки C на эти прямые, равны.

2. Проведем перпендикуляр CD к прямой AO и перпендикуляр CE к прямой BO.

3. Рассмотрим треугольники ACD и BCE.

4. Поскольку угол ACB равен углу BCO, треугольники ACD и BCE подобны по углам (по признаку угловой подобности), так как имеют общий угол в точке C и два равных угла при основаниях.

5. Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

6. В частности, отношение CD к CE равно отношению AC к BC.

7. Но отношение AC к BC равно 1, так как C лежит на биссектрисе угла AOB.

8. Следовательно, CD равно CE.

Это означает, что точка C находится на одинаковом расстоянии от прямых AO и BO, так как длины перпендикуляров CD и CE равны. Таким образом, утверждение доказано.