Question

Объяснить как решается данное выражение. sin²18° + sin²72°

Answer 1

$sin^218а+sin^272а=sin^2(90а-72а)+sin^272а=cos^272а+sin^272а=1$

Синус 18 градусов расписывается по формуле приведения

Answer 2

Чтобы решить данное выражение, мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства синуса.

1. Начнем с угла 18°. Мы знаем, что:

   • sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

2. Рассмотрим sin(18°):

   • sin(18°) = sin(2 * 9°)
   • Здесь θ = 9°
   • Используя формулу для sin(2θ), получаем: sin(18°) = 2sin(9°)cos(9°)

3. Теперь рассмотрим sin(72°):

   • sin(72°) = sin(2 * 36°)
   • Здесь θ = 36°
   • Используя формулу для sin(2θ), получаем: sin(72°) = 2sin(36°)cos(36°)

4. Теперь мы можем рассмотреть исходное выражение sin²(18°) + sin²(72°):

   sin²(18°) + sin²(72°) = (2sin(9°)cos(9°))² + (2sin(36°)cos(36°))²

5. Теперь давайте рассмотрим удвоенный угол 18°:

   sin(2 * 9°) = 2sin(9°)cos(9°)

6. Используя это равенство, мы можем переписать исходное выражение:

   (2sin(9°)cos(9°))² + (2sin(36°)cos(36°))² = (sin(2 * 9°))² + (2sin(36°)cos(36°))²

7. Теперь мы можем использовать известные тригонометрические тождества для синуса и косинуса удвоенного угла:

   • sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
   • cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)

8. Для угла 9°:

   • sin(2 * 9°) = 2sin(9°)cos(9°)

9. Для угла 36°:

   • cos(2 * 18°) = cos²(18°) - sin²(18°)
   • Здесь мы используем удвоенный угол для 18°.

10. Теперь мы можем заменить значения с использованием этих тригонометрических тождеств:

(sin(2 * 9°))² + (cos(2 * 18°))²

11. Вычисляем значение каждого члена:

• sin(2 * 9°) = 2sin(9°)cos(9°)
• cos(2 * 18°) = cos²(18°) - sin²(18°)

12. Теперь можем вычислить значение каждого члена и получить окончательный результат.