Question

Сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 10 см, а кут - 60. Знайдіть діагоналі паралелограма і його площу

Answer 1

Нужно знать:

1. Площадь параллелограмма находят по формуле S = a · b · sinα, где а и b - стороны параллелограмма, α - угол между сторонами.

2. sin60° = √3/2.

3. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, т.е. а² = b² + c² - 2abcosα, где a, b, c - стороны треугольника, α - угол между сторонами.

4. cos(180° - α) = -cosα.

Поэтому:

Sпар = 6 · 10 · sin60° = 6 · 10 · √3/2 = 30√3 (см²).

Диагональ параллелограмма разбивает параллелограмм на треугольники, поэтому диагонали можно найти по теореме косинусов:

d₁² = a² + b² - 2ab · cos60° = 6² + 10² - 2 · 6 · 10 · 1/2 =  36 + 100 - 60 =

= 76, откуда d₁ = √76 = 2√19 (см);

т.к. сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, то тупой угол параллелограмма равен 180° - 60° = 120°, тогда:

d₂² = a² + b² - 2ab · cos120° = 6² + 10² - 2 · 6 · 10 · cos 120° =

= 36 + 100 - 2 · 6 · 10 · ( -1/2) = 136 + 60 = 196, откуда d₂ = 14 (см).

Ответ: 2√19 см, 14 см, 30√3 см².

Answer 2

Для знаходження діагоналей паралелограма та його площі, нам потрібно використовувати геометричні властивості паралелограма.

1. Знайдемо діагоналі паралелограма:

Діагоналі паралелограма можна знайти за допомогою закону косинусів. Маємо такий паралелограм:

cssCopy code
 A --------------- B
/                   \

/
/
D --------------- C

Дано AB = 10 см, BC = 6 см та кут між ними ABC = 60 градусів.

Закон косинусів гласить:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C),

де c - діагональ паралелограма, a і b - сторони паралелограма, а C - кут між сторонами a і b.

Вставимо відомі значення:

c^2 = 10^2 + 6^2 - 2 * 10 * 6 * cos(60°).

cos(60°) = 1/2, тому:

c^2 = 100 + 36 - 60 = 136.

Знаходимо квадрат діагоналі:

c^2 = 136.

Тепер знайдемо саму діагональ:

c = √136 ≈ 11.66 см.

2. Знайдемо площу паралелограма:

Площа паралелограма може бути знайдена за допомогою формули:

Площа = a * h,

де a - довжина однієї зі сторін паралелограма (в даному випадку, можна взяти AB або BC), h - висота паралелограма (відстань між стороною, яка дорівнює 6 см, та протилежною до неї діагоналлю).

Висоту можна знайти, використовуючи трикутник ABC:

Знаємо, що у трикутнику ABC кут між стороною BC і висотою h дорівнює 60 градусів, BC = 6 см, та висоту можна позначити як h.

Знаємо, що:

h = BC * sin(60°) = 6 * √3 / 2 = 3√3 см.

Тепер знаходимо площу:

Площа = a * h = 6 см * 3√3 см ≈ 31.18 квадратних сантиметрів.

Отже, діагоналі паралелограма мають довжину приблизно 11.66 см, і його площа дорівнює приблизно 31.18 квадратних сантиметрів.