Question

На стороне AC прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) отмечена точка D. На отрезке BD отмечена точка E так, что BE=AD. Оказалось, что серединные перпендикуляры к отрезкам AB и DE пересекаются на отрезке BC. Найдите длину отрезка BD, если известно, что AD=9, DC=8.

Answer 1

FH - серединный перпендикуляр к DE

Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

FA=FB, FD=FE

△DAF=△EBF (по трем сторонам) => ∠DAF=∠EBF

△BFH=△AFC (по катету и острому углу) => BH=AC => EH=DC

BD =BE+EH+HD =9+8+8 =25

Answer 2

Давайте обозначим следующие точки и отрезки:

1. Пусть A - это точка (0, 0).
2. Пусть B - это точка (0, 8), так как DC = 8.
3. Пусть C - это точка (x, 0), где x - это длина AC.
4. Пусть D - это точка (x, 8), так как AD = 9 и DC = 8.
5. Пусть E - это точка (x/2, 8), так как BE = AD и середина отрезка BD находится в точке (x/2, 8).

Теперь давайте найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и C. Учитывая, что угол C является прямым углом, уравнение прямой можно записать как y = (8/x) * x = 8.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки B и E. Используя формулу наклона (slope) между двуми точками, у нас есть:

slope(EB) = (8 - 8) / (x/2 - 0) = 0.

Таким образом, прямая, проходящая через B и E, вертикальная и имеет уравнение x = 0.

Мы знаем, что пересечение этих двух прямых находится на отрезке BC, поэтому x должен быть равен координате x точки C. Мы уже установили, что уравнение прямой AC равно y = 8, и она пересекает вертикальную прямую x = 0 в точке C.

Таким образом, C находится в точке (0, 8).

Теперь у нас есть координаты точек B (0, 8) и D (x, 8), и мы можем легко найти длину отрезка BD:

BD = |x - 0| = |x| = x.

Мы уже знаем, что точка C находится в (0, 8), и у нас есть уравнение прямой AC: y = 8. Чтобы найти x, подставим y = 8 в уравнение прямой AC:

8 = 8.

Это верно для любого x, так как у нас есть вертикальная прямая, проходящая через (0, 8). Это означает, что x может быть любым числом, и длина отрезка BD будет равна |x|, что равно просто x.

Таким образом, длина отрезка BD равна x, и она не зависит от конкретного значения x.