Question

Помогите решить, дам 100 баллов лежат ли точки А(-2,4,3), В(4,-2,3),С(0,6,7) и О(0,0,0) в одной плоскости

Answer 1

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA =  0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-2)        y - 4      z - 3

4 - (-2)      (-2) - 4      0 - 3

0 - (-2)       6 - 4         7 - 3  = 0

x - (-2)      y - 4          z - 3

   6           -6           -3

  2             2             4    = 0

(x - (-2))  (-6·4-(-3)·2)  -  (y - 4)  (6·4-(-3)·2)  +  (z - 3)  (6·2-(-6)·2)  = 0

(-18) (x - (-2))  + (-30) (y - 4)  + 24 (z - 3)  = 0

- 18x - 30y + 24z + 12 = 0 или, сократив на -6 имеем:

  3x + 5y - 4z - 2 = 0.

Если поставить в это уравнение координаты точки О(0; 0; 0), то получим -2 ≠ 0. Эта точка не лежит в плоскости АВС.

Answer 2

Для определения, лежат ли точки A(-2,4,3), B(4,-2,3), C(0,6,7) и O(0,0,0) в одной плоскости, мы можем использовать свойство определителя матрицы. Если определитель матрицы, составленной из координат векторов AB, AC и AO, равен нулю, то эти точки лежат в одной плоскости. Давайте вычислим этот определитель:

Сначала определим векторы AB, AC и AO: AB = B - A = (4, -2, 3) - (-2, 4, 3) = (4 + 2, -2 - 4, 3 - 3) = (6, -6, 0) AC = C - A = (0, 6, 7) - (-2, 4, 3) = (0 + 2, 6 - 4, 7 - 3) = (2, 2, 4) AO = O - A = (0, 0, 0) - (-2, 4, 3) = (0 + 2, 0 - 4, 0 - 3) = (2, -4, -3)

Теперь составим матрицу из этих векторов:

| 6 2 2 | | -6 2 -4 | | 0 4 -3 |

Вычислим определитель этой матрицы:

Определитель = 6 * ((2 * (-3)) - (-4 * 4)) - 2 * ((-6 * (-3)) - (0 * 4)) + 2 * ((-6 * 4) - (0 * 2)) Определитель = 6 * (-6 + 16) - 2 * (18) + 2 * (-24) Определитель = (60 - 36) - 36 - 48 Определитель = 24 - 84 Определитель = -60

Поскольку определитель матрицы не равен нулю (-60 ≠ 0), это означает, что точки A, B, C и O не лежат в одной плоскости.