Question

СРОЧНА 25 баллов В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла. Найдите площадь трапеции, если боковая сторона равна 37 см, а меньшее основание 13см.

Answer 1

Ответ:

АВСД - трапеция  ,  АВ=СД=37 см ,  ВС=13 см , ВД - биссектриса ∠В .

 Так как ВД - биссектриса ∠В , то  ∠АВД=∠СВД .

Так как ВС║АД и ВД - секущая, то ∠СВД=∠АДВ как внутренние накрест лежащие углы, и тогда  ∠АВД=∠АДВ  ⇒   ΔАВД - равнобедренный, АВ=ВД=37 см .

 Проведём  ВН⊥АД и СМ⊥АД . ВСМН - прямоугольник и МН=ВС=13 см

АН=МД=37-13=24 см ,  АН=МД=24:2=12 см .

Рассмотрим ΔАВН .

По теореме Пифагора  ВН=√(АВ²-АН²)=√(37²-12²)=√1225=35 см .

ВН - высота трапеции.

Площадь трапеции:

S=(АД+BC)/2*ВН=(37+13)/2*35=50/2*35=25*35=875 см²

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим следующие величины:

Пусть AB и CD - основания трапеции, где AB - большее основание, а CD - меньшее основание. Пусть E - точка пересечения диагоналей трапеции, причем AE и DE - биссектрисы угла ADC. Также обозначим высоту трапеции как h.

Мы знаем, что диагональ AC является биссектрисой угла ADC. Это означает, что треугольники ADE и CDE равны по площади.

Теперь рассмотрим треугольник ADE. У него две равные стороны (AD и AE), так как это равнобедренная трапеция. Поэтому треугольник ADE также равнобедренный, и угол AED равен углу EAD.

Следовательно, угол CAD также равен углу ADE (поскольку они дополняют угол EAD до 180 градусов), и мы можем заключить, что треугольник CAD также равнобедренный.

Теперь, зная, что треугольник CAD равнобедренный, мы можем найти его площадь. Высота треугольника CD равна h, а основание CD равно половине разницы оснований трапеции:

CD = (AB - CD) / 2 = (37 см - 13 см) / 2 = 12 см

Площадь треугольника CAD:

S_CAD = (CD * h) / 2 = (12 см * h) / 2 = 6h

Так как треугольник ADE также равнобедренный и имеет ту же высоту h, его площадь также равна 6h:

S_ADE = 6h

И так как треугольники ADE и CDE равны по площади:

S_ADE = S_CDE

Теперь мы можем найти площадь трапеции, сложив площади треугольников ADE и CDE:

S_трапеции = S_ADE + S_CDE = 6h + 6h = 12h

Теперь нам нужно найти значение h. Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ADC:

AD^2 = CD^2 + AC^2

AC - это диагональ трапеции, которая равна половине суммы оснований:

AC = (AB + CD) / 2 = (37 см + 13 см) / 2 = 25 см

Теперь мы можем найти AD:

AD^2 = 12^2 + 25^2 = 144 + 625 = 769

AD = √769 ≈ 27.73 см

Теперь у нас есть значение AD, и мы можем найти высоту h, разделив треугольник ADC на два прямоугольных треугольника ADC и ADE:

h^2 + (12 см)^2 = (27.73 см)^2

h^2 + 144 см^2 = 769 см^2

h^2 = 769 см^2 - 144 см^2 = 625 см^2

h = √625 см = 25 см

Теперь у нас есть значение h, и мы можем найти площадь трапеции:

S_трапеции = 12h = 12 * 25 см^2 = 300 см^2

Итак, площадь данной равнобедренной трапеции равна 300 квадратным сантиметрам.

Answer 3

Для нахождения площади равнобедренной трапеции, когда известны длины боковой стороны (a), меньшего основания (b) и известно, что диагональ является биссектрисой тупого угла, можно воспользоваться следующей формулой:

Площадь трапеции (S) = [(сумма оснований) * высота] / 2

В данном случае, боковая сторона (a) равна 37 см, а меньшее основание (b) равно 13 см.

Также, по условию, известно, что диагональ является биссектрисой тупого угла. Это означает, что трапеция разбивается на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Мы можем найти высоту (h) треугольника, используя теорему Пифагора, так как одна из сторон равна половине боковой стороны (a/2), а гипотенуза (d) равна диагонали трапеции:

d^2 = (a/2)^2 + h^2

d^2 = (37/2)^2 + h^2 d^2 = 1369/4 + h^2

Теперь мы можем выразить h:

h^2 = d^2 - 1369/4 h = √(d^2 - 1369/4)

Теперь мы можем найти диагональ (d). Так как диагональ является биссектрисой тупого угла, она разбивает трапецию на два прямоугольных треугольника, и один из этих треугольников имеет гипотенузу равную большему основанию (a), а другой - меньшему основанию (b). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения диагонали:

d^2 = (a/2)^2 + b^2

d^2 = (37/2)^2 + 13^2 d^2 = 1369/4 + 169 d^2 = 1538.25

Теперь мы можем найти значение d:

d = √1538.25 d ≈ 39.23 см

Теперь, когда у нас есть значение диагонали (d) и высоты (h), мы можем найти площадь трапеции:

S = [(сумма оснований) * высота] / 2 S = [(37 + 13) * √(d^2 - 1369/4)] / 2 S = [50 * √(1538.25 - 1369/4)] / 2

Теперь можно вычислить площадь:

S ≈ [50 * √(1538.25 - 342.25)] / 2 S ≈ [50 * √1196] / 2 S ≈ [50 * 34.61] / 2 S ≈ 1730.5 / 2 S ≈ 865.25

Итак, площадь равнобедренной трапеции составляет примерно 865.25 квадратных сантиметров.