Question

Mедианы AM и BK треугольника ABC равны 9 см и 12 см соответственно, а угол между ними равен 90°. Найдите медиану CD.​​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Т.к. все медианы треугольника пересекаются в одной точке, то CD проходит через точку O. Медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины. Тогда BO=8 и AO=6. Т.к. медианы AM и BK пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный, тогда его медиана OD равна половине гипотенузы, которую можно найти по теореме Пифагора, как AB²=BO²+AO² => AB=10. Тогда OD=5. Применив еще раз свойство деления медиан точкой пересечения, получим, что CD=15.

Задача решена!

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и свойства медиан треугольника.

Сначала рассмотрим треугольник AMB. Мы знаем, что медиана AM равна 9 см, а угол между AM и BM равен 90°. Это означает, что AMB - прямоугольный треугольник.

Теперь рассмотрим треугольник BKC. Медиана BK равна 12 см, и также угол между BK и CK равен 90°, что делает BKC прямоугольным треугольником.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов. Давайте обозначим медиану CD как x (мы ищем её длину).

Теперь мы можем записать уравнение для каждого из прямоугольных треугольников:

Для треугольника AMB: AB² = AM² + BM² AB² = 9² + x²

Для треугольника BKC: BC² = BK² + CK² BC² = 12² + x²

Теперь мы можем найти значения AB² и BC² и приравнять их, так как это одна и та же медиана CD:

9² + x² = 12² + x²

Теперь выразим x²:

x² = 12² - 9² x² = 144 - 81 x² = 63

Теперь найдем x, взяв квадратный корень обеих сторон:

x = √63

x ≈ 7.94 см

Таким образом, медиана CD треугольника ABC примерно равна 7.94 см.