Question

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 20:21, а разница между радиусами описанной и вписанной окружности 17 см. Найти гипотенузу Пожалуйста помогите!​

Answer 1

катет a=20x

катет b=21x

гипотенуза по т. Пифагора c^2=400x^2+441x^2=841x^2, c=29x

S треуг.=20x*21x/2=210x^2

радиус описанной окружности находим по формуле R=abc/(4s)=20x*21x*29x/(4*210x^2)=29x/2

радиус вписанной окружности находим по формуле r=2s/p=2*210x^2/(21x+29x+20x)=6x

14,5x-6x=17

8,5x=17

x=2

c=29*2=58

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться следующими свойствами прямоугольных треугольников и окружностей:

1. По теореме Пифагора, гипотенуза прямоугольного треугольника связана с катетами следующим образом:

   $c^2 = a^2 + b^2$,

   где $c$ - гипотенуза, $a$ и $b$ - катеты.

2. Разница между радиусами описанной ($R$) и вписанной ($r$) окружностей прямоугольного треугольника связана с его катетами и гипотенузой следующим образом:

   $R - r = \frac{{ab}}{{c}}$.

Мы знаем, что катеты относятся как 20:21:

$a:b = 20:21$.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $a^2 + b^2 = c^2$,
2. $R - r = \frac{{ab}}{{c}}$.

Мы также знаем, что $R - r = 17$.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Давайте начнем с отношения катетов:

$a:b = 20:21$.

Мы можем представить катеты как $a = 20x$ и $b = 21x$, где $x$ - общий множитель.

Теперь мы можем подставить эти выражения в уравнение Пифагора:

$(20x)^2 + (21x)^2 = c^2$.

$400x^2 + 441x^2 = c^2$.

$841x^2 = c^2$.

Теперь у нас есть выражение для $c^2$.

Теперь мы можем использовать уравнение для разницы между радиусами описанной и вписанной окружностей:

$R - r = \frac{{ab}}{{c}}$.

$R - r = \frac{{(20x)(21x)}}{{c}}$.

$R - r = \frac{{420x^2}}{{c}}$.

Теперь мы знаем, что $R - r = 17$, и мы знаем, что $c^2 = 841x^2$, поэтому мы можем подставить это в уравнение:

$17 = \frac{{420x^2}}{{\sqrt{841x^2}}}$.

Теперь выразим $c$:

$17 = \frac{{420x^2}}{{|841x|}}$.

Мы можем игнорировать абсолютное значение в знаменателе, так как $c$ - длина, и она всегда положительная:

$17 = \frac{{420x^2}}{{841x}}$.

Теперь сократим $x$:

$17 = \frac{{420x}}{{841}}$.

Умножим обе стороны на 841:

$17 \cdot 841 = 420x$.

$x = \frac{{17 \cdot 841}}{{420}}$.

Теперь найдем $c$, подставив значение $x$ в $c^2 = 841x^2$:

$c^2 = 841\left(\frac{{17 \cdot 841}}{{420}}\right)^2$.

$c^2 = 841\left(\frac{{17^2 \cdot 841^2}}{{420^2}}\right)$.

$c^2 = 841\left(\frac{{17^2}}{{420^2}}\right) \cdot 841^2$.

$c^2 = \frac{{17^2 \cdot 841^3}}{{420^2}}$