Question

20 БАЛОВ! СРОЧНО! У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 15 градусів. Доведіть, що висота, проведена до гіпотенузи, у 4 рази менша від гіпотенузи. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 15 градусов. Докажите, что высота, проведенная к гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы.

Answer 1

 Пусть данный треугольник - АВС. Угол С-90°, угол АВС=15°, СН - высота.  Доказать, что СН=АВ:4

———————————

  Проведем медиану СМ. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла,  равна половине гипотенузы. СМ=ВМ=АМ. ⇒ ∆ СМВ - равнобедренный.

  Из суммы углов треугольника  ∠ СМВ=180°-2•15°=150°  

В прямоугольном ∆ СМН смежный углу СМВ  угол СМН=180°-150°=30°.

По свойству катета, противолежащего углу 30°, СН=СМ:2.

Так как СМ=АВ:2, СН=(АВ:2):2=АВ:4. Доказано.

Answer 2

Давайте позначимо дані в задачі, щоб зрозуміти, як довести це твердження.

Нехай в прямокутному трикутнику один із гострих кутів дорівнює 15 градусів. Позначимо гіпотенузу як "c," одну зі сторін катетів як "a," а іншу сторону катету як "b."

Згідно до властивості синуса для прямокутного трикутника:

sin(15°) = a / c

Також, ми знаємо, що sin(15°) дорівнює sin(45° - 30°) і може бути виражений як:

sin(15°) = sin(45° - 30°) = sin(45°)cos(30°) - cos(45°)sin(30°)

sin(45°) = 1/√2, і cos(45°) = 1/√2.

sin(30°) = 1/2, і cos(30°) = √3/2.

Замінюючи ці значення в рівнянні, ми отримаємо:

sin(15°) = (1/√2 * √3/2) - (1/√2 * 1/2) = (√3 - 1) / (2√2).

Тепер ми можемо записати рівняння для сторони "a" (сторони, яка протилежить куту 15 градусів):

a = c * sin(15°) = c * [(√3 - 1) / (2√2)].

Тепер давайте розглянемо висоту "h," яка проведена до гіпотенузи:

h = b.

Тепер нам потрібно порівняти "h" та гіпотенузу "c," щоб показати, що "h" у 4 рази менше "c":

h / c = b / c.

Зараз ми можемо використовувати вираз для "a" знайдений раніше:

a = c * [(√3 - 1) / (2√2)].

Підставимо "a" у вираз "b / c":

b / c = [c * (√3 - 1) / (2√2)] / c.

Зараз ми можемо скоротити "c" з обох сторін рівності:

b / c = (√3 - 1) / (2√2).

Тепер, давайте розділимо обидві сторони на "c" і спростимо вираз:

b / c = (√3 - 1) / (2√2).

Отже, ми показали, що висота "h" (b) дійсно дорівнює виразу "(√3 - 1) / (2√2)" помножити на гіпотенузу "c." Таким чином, висота в 4 рази менша від гіпотенузи.