Question

Четырехугольник АВСD- параллелограм. Докажите равенство векторов AD и BC.​

Answer 1

AD и BC равны так как они параллельны, имеют одинаковую длину и имеют одно направление.

Answer 2

Для доказательства равенства векторов AD и BC в параллелограмме ABCD, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое утверждает, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. То есть точка пересечения диагоналей M является серединой каждой из диагоналей. Это свойство может быть доказано с использованием векторов.

Давайте обозначим векторы AD и BC следующим образом:

AD = vector(A) - vector(D) BC = vector(B) - vector(C)

Теперь докажем, что AD и BC равны друг другу.

1. Найдем середину диагонали AC, обозначим ее как M. Это можно сделать, используя среднюю точку между точками A и C:

M = (A + C) / 2

2. Теперь найдем середину диагонали BD, обозначим ее как N. Это можно сделать, используя среднюю точку между точками B и D:

N = (B + D) / 2

3. Сравним векторы AM и CN:

AM = M - A CN = N - C

4. Поскольку M и N являются серединами соответствующих диагоналей, M и N равноудалены от своих конечных точек. Таким образом, AM и CN равны и направлены в противоположные стороны.

5. Теперь сравним векторы AM и CN:

AM = M - A CN = N - C

6. Поскольку M и N являются серединами соответствующих диагоналей, M и N равноудалены от своих конечных точек. Таким образом, AM и CN равны и направлены в противоположные стороны.

7. Теперь объединим векторы AM и CN:

AM + CN = M - A + N - C

8. Поскольку AM и CN равны и направлены в противоположные стороны, их сумма равна нулевому вектору:

AM + CN = 0

9. Теперь добавим векторы AC и BD:

AC + BD = (M - A) + (N - C)

10. Используя свойство равенства векторов, мы можем записать:

(M - A) + (N - C) = 0

11. Теперь мы видим, что AC и BD также равны и направлены в противоположные стороны:

AC = -BD

12. Исходные векторы AD и BC можно выразить через AC и BD:

AD = AC + CD BC = -BD

13. Подставим полученные равенства:

AD = AC + CD BC = -BD

14. Используя равенство AC и -BD, мы можем записать:

AD = -BC

Таким образом, мы доказали, что векторы AD и BC равны и направлены в противоположные стороны:

AD = -BC