Question

в прямоугольном треугольнике abc внешний угол при вершине b равен 120 градусов а меньший из катетов на 15 см меньше гипотенузы найдите этот катет и гипотенузу

Answer 1

Ответ:

15 см,   30 см

Объяснение:

Дано: ΔАВС - прямоугольный, ∠С=90°,  ∠АВК=120°,  АВ-ВС=15 см. АВ - ?  ВС - ?

∠АВС=180-120=60° по свойству смежных углов

∠А=90-60=30°, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°

АВ=2ВС по свойству катета, лежащего против угла 30°

Пусть АВ=х см, тогда ВС=х-15 см.

х=2(х-15);  х=2х-30

х=30

АВ=30 см,  ВС=30-15=15 см.

Answer 2

Давайте обозначим катет, который меньше гипотенузы, как "a" и гипотенузу как "c". Внешний угол при вершине B в прямоугольном треугольнике равен 120 градусам, что означает, что угол C (противоположный гипотенузе) равен 120 градусам.

Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, мы можем найти угол A следующим образом:

Угол A = 180° - угол B - угол C Угол A = 180° - 90° - 120° Угол A = -30°

Теперь мы знаем, что угол A равен -30 градусов. Это отрицательный угол, что означает, что треугольник ABC выпуклый.

Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти отношение между сторонами и углами в треугольнике:

a/sin(A) = c/sin(C)

Мы знаем угол A и угол C (в радианах), и мы хотим найти a (меньший катет) и c (гипотенузу).

a/sin(-30°) = c/sin(120°)

Теперь нам нужно выразить sin(-30°) и sin(120°) через синусы углов в первом и четвертом квадрантах. Синус отрицательного угла равен синусу его положительного смежного угла в первом квадранте:

sin(-30°) = -sin(30°)

Также синус угла 120° в четвертом квадранте также отрицателен:

sin(120°) = -sin(60°)

Теперь мы можем переписать наше уравнение:

a/(-sin(30°)) = c/(-sin(60°))

Сначала найдем значения синусов углов:

sin(30°) = 1/2 sin(60°) = √3/2

Теперь у нас есть:

a/(-1/2) = c/(-√3/2)

Мы можем умножить обе стороны на -2, чтобы избавиться от отрицательных знаков:

a = 2c/√3

Теперь нам дано, что меньший катет a на 15 см меньше гипотенузы c:

a = c - 15

Мы можем объединить эти два уравнения:

2c/√3 = c - 15

Теперь давайте решим это уравнение относительно c, гипотенузы:

2c/√3 = c - 15

Умножим обе стороны на √3, чтобы избавиться от дроби:

2c = √3 * (c - 15)

Раскроем скобки:

2c = √3c - 15√3

Теперь выразим c:

2c - √3c = -15√3

(2 - √3)c = -15√3

c = (-15√3) / (2 - √3)

Чтобы упростить ответ, умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

c = [(-15√3) / (2 - √3)] * [(2 + √3) / (2 + √3)]

c = [(-15√3 * (2 + √3)) / (4 - 3)]

c = (-45√3 * (2 + √3))

Теперь мы нашли гипотенузу c. Давайте найдем катет a, используя уравнение a = 2c/√3:

a = 2c/√3 a = 2 * (-45√3 * (2 + √3)) / √3

a = -90(2 + √3)

Таким образом, гипотенуза равна -45√3(2 + √3) и катет a равен -90(2 + √3). Однако, поскольку треугольник ABC является физически реальным объектом, длины его сторон не могут быть отрицательными, поэтому у нас есть два возможных решения:

1. Если мы предположим, что a и c являются положительными, то гипотенуза c ≈ 45√3(2 + √3) см и меньший катет a ≈ 90(2 + √3) см.

2. Если мы предположим, что a и c являются отрицательными (что в реальном мире не имеет физического смысла), то гипотенуза c ≈ -45√3(2 + √3) см и меньший катет a ≈ -90(2 + √3) см.