Question

Знайти cos кута між вектором а=х-4у, в=4у-2х, якщо Х┴У і ǀуǀ =ǀхǀ =2 *

Answer 1

Объяснение:

С одной стороны  а*в=(х-4у)(4у-2х)  ,

с другой стороны а*в=|a| *|в| *cos(a;в).

1)  а*в=(х-4у)(4у-2х) =4ху+8ху-2х²-16у²=12ху-2х²-16у²

Т.к. х⊥у , то х*у=0.

х² и у²- скалярные квадраты и равны квадрату длины ⇒х² = у²=4

 а*в=(х-4у)(4у-2х) =12*0 -2*4-16*4=-4*18=-72.

2) а*в=|a| *|в| *cos(a;в).

Т.к х⊥у  , то  |а|=|х-4у|   а это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 2 и 8 ед. С  |в|=|4у-2х|- аналогично.

|a| =√(2²+8²)=√68,

|в| =√(8²+4²)=√80.

а*в=√68*√80*cos(a;в).

3)√68*√80*cos(a;в)=-72

cos(a;в)=-72:(2√17*4√5)=-9√85/85

Answer 2

Щоб знайти косинус кута між двома векторами, ми використовуємо формулу:

$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{\|a\| \cdot \|b\|}$

де $a$ та $b$ - вектори, $\|a\|$ і $\|b\|$ - їхні довжини. Щоб знайти скалярний добуток векторів, ми розкриваємо їх:

$a \cdot b = (x-4y) \cdot (4y-2x)$

Знайдемо значення цього виразу:

$a \cdot b = (x \cdot 4y) + (x \cdot -2x) + (-4y \cdot 4y) + (-4y \cdot -2x)$

$a \cdot b = 4xy - 2x^2 - 16y^2 + 8xy$

$a \cdot b = 12xy - 2x^2 - 16y^2$

Тепер знайдемо довжини векторів $a$ та $b$:

$\|a\| = \sqrt{x^2 + 16y^2}$ $\|b\| = \sqrt{16y^2 + 4x^2}$

Підставимо ці значення у формулу для косинуса кута:

$\cos \theta = \frac{12xy - 2x^2 - 16y^2}{\sqrt{x^2 + 16y^2} \cdot \sqrt{16y^2 + 4x^2}}$

З огляду на те, що $|x| = |y| = 2$, підставимо це значення:

$\cos \theta = \frac{12(2)(2) - 2(2)^2 - 16(2)^2}{\sqrt{(2)^2 + 16(2)^2} \cdot \sqrt{16(2)^2 + 4(2)^2}}$

$\cos \theta = \frac{48 - 8 - 64}{\sqrt{4 + 64} \cdot \sqrt{64 + 16}}$

$\cos \theta = \frac{48 - 8 - 64}{\sqrt{68} \cdot \sqrt{80}}$

$\cos \theta = \frac{-24}{\sqrt{68} \cdot \sqrt{80}}$

$\cos \theta = -\frac{24}{4\sqrt{17} \cdot 4\sqrt{5}}$

$\cos \theta = -\frac{3}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}}$