Question

Найдите квадрат расстояния между серединами двух скрещивающихся ребер куба если этот куб вписан в Сферу поверхность которой равна 48 пи ​

Answer 1

Ответ:

24

Объяснение:

Формула площади сферы: S = 4πR²   R=D/2, S = πD², D - диаметр сферы.  πD²=48π ⇒ D=√48

Диаметр сферы, в который вписан куб - диагональ куба. Формула диагонали куба D=a√3 (можно найти по т. Пифагора) ⇒ сторона куба: а= D/√3 = √48/√3 = √16=4

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. Рёбра Д1С1 и АД будут скрещивающиеся. Точки К и М - середины данных рёбер

Далее см. рисунок.

ΔКДМ: Проведём КК1 ║ С1С.

КК1 ⊥ДС, АД⊥ ДС ⇒

по теореме о 3 перпендикулярах  КД⊥АД ⇒ √Д=90°.

Answer 2

Обозначим длину ребра куба как $a$. Тогда радиус сферы, в которую этот куб вписан, равен половине длины диагонали куба.

Диагональ $d$ куба можно найти с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, у которого катеты равны $a$ (ребро куба) и $a\sqrt{2}$ (диагональ квадрата основания куба):

$d = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3}a.$

Так как $d$ равно удвоенному радиусу сферы, радиус $r$ сферы равен $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$.

По условию, площадь поверхности сферы равна $48\pi$, что можно выразить через радиус:

$4\pi r^2 = 48\pi.$

Подставляем $r = \frac{\sqrt{3}a}{2}$:

$4\pi \left(\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)^2 = 48\pi.$

$\frac{3\pi a^2}{2} = 48\pi.$

$3\pi a^2 = 96\pi.$

$a^2 = 32.$

$a = 4\sqrt{2}.$

Теперь найдем квадрат расстояния между серединами двух скрещивающихся ребер. Это будет половина длины диагонали грани куба:

$d' = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a = 4\sqrt{2}.$

Квадрат расстояния равен $d'^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$.