Question

Геометрия. 100 баллов Задание 1 x^2+y^2+z^2+2x-6y+6=0 Найдите центр и радиус сферы При каком значении n, точка А(-1;3;n) будет лежать на поверхности сферы? Задание 2 Дано А(-1;2 ;0)В(3;2;-2)С(-5;2 ;4) вершины треугольника А) найдите координаты векторов СА,СВ Б) найдите косинус угла АВС

Answer 1

..........................

Answer 2

Задание 1:

У вас есть уравнение сферы:

x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6y + 6 = 0

Чтобы найти центр и радиус сферы, сначала перепишем уравнение в стандартной форме:

x^2 + 2x + y^2 - 6y + z^2 + 6 = 0

Теперь завершим квадрат для x, y и z, добавив к обеим сторонам уравнения соответствующие квадратные члены:

(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + z^2 + 6 = 1 + 9 + 6

(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 16

Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме сферы:

(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 16

Из этого уравнения видно, что центр сферы находится в точке (-1, 3, 0), и радиус сферы равен 4.

Чтобы найти значение n, при котором точка А(-1, 3, n) лежит на поверхности сферы, подставим координаты точки А в уравнение сферы:

(-1 + 1)^2 + (3 - 3)^2 + n^2 = 16

0 + 0 + n^2 = 16

n^2 = 16

n = ±4

Таким образом, точка А будет лежать на поверхности сферы при значениях n равных 4 и -4.

Задание 2:

А) Найдем координаты векторов СА и СВ, вычитая координаты начальной точки из конечной:

Вектор СА = С - A = (-5, 2, 4) - (-1, 2, 0) = (-4, 0, 4)

Вектор СВ = B - A = (3, 2, -2) - (-1, 2, 0) = (4, 0, -2)

Б) Для нахождения косинуса угла между векторами АВ и СА, используем формулу скалярного произведения и длин векторов:

cos(θ) = (АВ * СА) / (|АВ| * |СА|)

Сначала найдем скалярное произведение АВ и СА:

АВ * СА = (-4 * 4) + (0 * 0) + (4 * -2) = -16 - 8 = -24

Теперь найдем длины векторов:

|АВ| = √(4^2 + 0^2 + (-2)^2) = √(16 + 0 + 4) = √20

|СА| = √(-4^2 + 0^2 + 4^2) = √(16 + 0 + 16) = √32

Теперь подставим все значения в формулу:

cos(θ) = (-24) / (√20 * √32) = -24 / (√(20 * 32)) = -24 / (√(640)) = -24 / (8√10) = -3 / √10

Таким образом, косинус угла между векторами АВ и СА равен -3 / √10.