Question

В прямоугольнике ABCD AB = BC и CD = AD. Середины сторон прямоугольника соединяются друг за другом. Докажите, что полученный прямоугольник является правильным прямоугольником.

Answer 1

Відповідь:

Получился квадрат.

Пояснення:

Поскольку смежные ( соседние ) стороны прямоугольника АВ = ВС и СД = АД, а все четыре угла равны 90°, то АВ = ВС = СД = АД и следовательно АВСД - КВАДРАТ.

Соединив между собой середины квадрата АВСД мы получим тоже квадрат, но со сторонами в корень из двух меньше.

Answer 2

Прежде всего, давайте обозначим середины сторон прямоугольника ABCD. Пусть E - середина AB, F - середина BC, G - середина CD, H - середина DA.

Так как AB = BC и CD = AD, мы можем сказать, что AE = EF и DG = GH (по свойствам серединных отрезков).

Теперь рассмотрим полученный прямоугольник EFGH. У нас есть следующие равенства сторон:

1. EF = AE (по построению)
2. EF = BC (по равенству сторон в прямоугольнике ABCD)
3. GH = DG (по построению)
4. GH = AD (по равенству сторон в прямоугольнике ABCD)

Из этих равенств следует, что AE = BC и DG = AD. Так как AE = EF и DG = GH, у нас получается, что BC = EF = GH = AD. Таким образом, все стороны прямоугольника EFGH равны между собой.

Также у нас есть прямые углы в вершинах E, F, G и H, так как эти точки являются серединами сторон ABCD. Следовательно, прямоугольник EFGH является прямоугольником с равными сторонами, и по определению это правильный прямоугольник.