Question

Как можно быстрее!!! На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенная к основанию треугольника, равна 3.​

Answer 1

Ответ:

Прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, является и его медианой, следовательно, она является срединным перпендикуляром к хорде, и поэтому проходит через центр окружности. Обозначим исходный треугольник через ABC (AC - основание), через M - середину AC, через O - центр окружности. В прямоугольном треугольнике BOC высота CM является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу, поэтому |MO| = |MC|2/|BM| = 16/3. Из прямоугольного треугольника OCM по теореме Пифагора получаем, что |OC|2 = |OM|2+|MC|2 = (20/3)2. или =

$\frac{20}{3}$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим несколько величин. Пусть $AB$ — основание равнобедренного треугольника, $AC$ — высота, проведенная к основанию, $O$ — центр окружности, $R$ — радиус окружности.

Так как треугольник равнобедренный, то $AC$ также является медианой, биссектрисой и высотой. Следовательно, $AC$ делит угол $A$ пополам, и треугольник $ACO$ является прямоугольным. Мы знаем, что $AC = 3$, и $AO$ — радиус окружности.

Теперь мы можем воспользоваться тем фактом, что для прямоугольного треугольника отношение радиуса окружности к половине основания равно отношению высоты к половине основания. Таким образом:

$\frac{AO}{AB/2} = \frac{AC}{AB/2}$

Решая уравнение относительно $AO$, получаем:

$AO = AC$

Теперь подставим известные значения:

$AO = 3$

Таким образом, радиус окружности $R$ равен 3.