Question

Вычислите расстояния от плоскости 2x - 6Y + 3z - 12 = 0 до точек A (1; -2; 3), B (3; 4; 5), C (-4; -5; 6) и найдите положение точки относительно плоскости в каждом случае.​

Answer 1

Нормальное уравнение плоскости

k= √(2^2+6^2+3^2)= 7

2x/7 - 6y/7 +3z/7 -12/7 =0

Подставляем координаты точек в нормальное уравнение для нахождения расстояния

для А

2/7 + 12/7 +9/7 -12/7 = 11/7

для В

6/7 -24/7+15/7 -12/7 = -15/7

для С

-8/7 +30/7+18/7-12/7 = 28/7 =4

A и С с одной стороны B c другой

Answer 2

Чтобы вычислить расстояния от плоскости 2x - 6y + 3z - 12 = 0 до точек A, B и C, можно использовать формулу для расстояния между точкой (x₀, y₀, z₀) и плоскостью Ax + By + Cz + D = 0:

Расстояние = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

В данном случае у нас есть уравнение плоскости 2x - 6y + 3z - 12 = 0, так что A = 2, B = -6, C = 3 и D = -12.

1. Для точки A(1, -2, 3): x₀ = 1, y₀ = -2, z₀ = 3. Расстояние = |2(1) - 6(-2) + 3(3) - 12| / √(2² + (-6)² + 3²) = |2 + 12 + 9 - 12| / √(4 + 36 + 9) = |11| / √49 = 11 / 7 = 1.57 (округлено до двух знаков после запятой).

2. Для точки B(3, 4, 5): x₀ = 3, y₀ = 4, z₀ = 5. Расстояние = |2(3) - 6(4) + 3(5) - 12| / √(2² + (-6)² + 3²) = |6 - 24 + 15 - 12| / √(4 + 36 + 9) = |-15| / √49 = 15 / 7 = 2.14 (округлено до двух знаков после запятой).

3. Для точки C(-4, -5, 6): x₀ = -4, y₀ = -5, z₀ = 6. Расстояние = |2(-4) - 6(-5) + 3(6) - 12| / √(2² + (-6)² + 3²) = |-8 + 30 + 18 - 12| / √(4 + 36 + 9) = |28| / √49 = 28 / 7 = 4.

Теперь определим положение каждой точки относительно плоскости:

1. Точка A находится выше плоскости (расстояние положительное).
2. Точка B находится выше плоскости (расстояние положительное).
3. Точка C лежит в плоскости (расстояние равно 0).

Таким образом, точка A и точка B находятся выше плоскости, а точка C лежит в этой плоскости.