Question

Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, если A(−4;−8;8), B(−2;−2;6), C(4;0;−10).

Answer 1

Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, если A(−4;−8;8), B(−2;−2;6), C(4;0;−10).

Объяснение:

Проведем медиану АМ. Тогда точка М-середина ВС. Найдем координаты М по формулам середины отрезка.

М( $\frac{-2+4}{2} ;\frac{-2+0}{2} ;\frac{6-10}{2}$ ) или М(1 ; -1; -2).

Пусть точка пересечения медиан О( х; у ;z ) . По свойству медиан треугольника  $\frac{AO}{OM} =\frac{2}{1}$   .

АО= х-(-4)=х+4 , ОМ=1- х , $\frac{x+4}{1-x} =\frac{2}{1}$  , х+4=2-2х , х=-2/3.

АО= y-(-8)=х+8 , ОМ=-1- х , $\frac{y+8}{ -1-y} =\frac{2}{1}$  , y+8=-2-2y , y=-10/3.

АО= z-(-2)=z+2 , ОМ=-2- z , $\frac{z+2}{-2-z} =\frac{2}{1}$  , z+2= -4-2z , z=-2.

O( -2/3 ; -10/3 ;-2 ).

Answer 2

Для нахождения координат точки пересечения медиан треугольника ABC, мы можем использовать формулы для нахождения координат точки пересечения двух отрезков, которые являются медианами.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Сначала нам нужно найти середины сторон треугольника.

Середина отрезка AB: x = (-4 + (-2)) / 2 = -6 / 2 = -3 y = (-8 + (-2)) / 2 = -10 / 2 = -5 z = (8 + 6) / 2 = 14 / 2 = 7

Середина отрезка BC: x = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1 y = (-2 + 0) / 2 = -2 / 2 = -1 z = (6 + (-10)) / 2 = -4 / 2 = -2

Середина отрезка AC: x = (-4 + 4) / 2 = 0 / 2 = 0 y = (-8 + 0) / 2 = -8 / 2 = -4 z = (8 + (-10)) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть координаты трех середин сторон треугольника. Далее, найдем координаты точки пересечения медиан. Для этого можно взять среднее арифметическое координат каждой из середин:

x = (-3 + 1 + 0) / 3 = -2 / 3 y = (-5 + (-1) + (-4)) / 3 = -10 / 3 z = (7 + (-2) + (-1)) / 3 = 4 / 3

Итак, координаты точки пересечения медиан треугольника ABC равны (-2/3, -10/3, 4/3).