Question

У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 60°, а сума гіпотенузи та меншого катета — 54 см. Знайдіть довжину (у см) гіпотенузи прямокутного трикутника.​

Answer 1

Ответ:

Длина гипотенузы равна 36 см

Объяснение:

Перевод: В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета 54 см. Найдите длину (в см) гипотенузы прямоугольного треугольника.

Информация: а) Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона.

б) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.

Решение. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, тогда другой угол 90°-60° = 30°. Против меньшего угла 30° треугольника лежит меньшая сторона x. Но, в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть в нашем случае длина гипотенузы равна 2·x.

По условию сумма гипотенузы и меньшего катета 54 см, в силу обозначений:

x + 2·x = 54 или 3·x = 54 или x = 18 см.

Тогда длина гипотенузы равна 2·18 = 36 см.

#SPJ1

Answer 2

Нехай $a$ і $b$ - катети прямокутного трикутника, де $b$ - менший катет.

Знаємо, що один із кутів трикутника дорівнює 60°. Отже, за тригонометричними властивостями трикутників з кутом 60°, відомо, що $\frac{b}{a} = \tan(60°) = \sqrt{3}$.

Також, за умовою, сума гіпотенузи та меншого катета дорівнює 54 см:

$a + b = 54$

Тепер можемо використати вираз для величини $b$ з отриманого рівняння:

$b = 54 - a$

А також вираз для $b$ з рівняння відношення катетів:

$b = a\sqrt{3}$

Підставимо цей вираз за $b$ в рівняння $b = 54 - a$:

$a\sqrt{3} = 54 - a$

Розв'яжемо це рівняння для $a$:

$a\sqrt{3} + a = 54$ $a(\sqrt{3} + 1) = 54$ $a = \frac{54}{\sqrt{3} + 1}$

Щоб підсилити це рівняння, помножимо нумератор і деномінатор на $\sqrt{3} - 1$, щоб усунути додатковий корінь:

$a = \frac{54(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$ $a = \frac{54(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$ $a = 27(\sqrt{3} - 1)$

Тепер можемо знайти гіпотенузу за допомогою теореми Піфагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$ c = \sqrt{(27(\sqrt{3} - 1})^2 + (54 - 27(\sqrt{3} - 1))^2}

Після обчислень отримаємо значення гіпотенузи $c$.