Question

в кубе АВСДА1В1С1Д1 все ребра равны 2. найдите расстояние d от точки А до прямой ВД1. в ответе укажите величину 3d в квадрате ​

Answer 1

Решение смотри во вложениях.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве. Пусть точка $A$ имеет координаты $(0, 0, 0)$, а прямая $VD_1$ можно задать параметрически следующим образом:

$V(t) = (2, 0, 0) + t(0, 2, 2),$

где $t$ - параметр.

Теперь найдем вектор направления прямой $VD_1$, который равен $(0, 2, 2)$. Расстояние $d$ от точки $A$ до прямой $VD_1$ можно найти по формуле:

$d = \frac{\lvert \vec{VA} \times \vec{VD_1} \rvert}{\lvert \vec{VD_1} \rvert},$

где $\vec{VA}$ - вектор, соединяющий точки $V$ и $A$, и $\times$ обозначает векторное произведение.

$\vec{VA} = (0 - 2, 0 - 0, 0 - 0) = (-2, 0, 0).$

Теперь вычислим векторное произведение $\vec{VA} \times \vec{VD_1}$:

$$\vec{VA} \times \vec{VD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ \end{vmatrix} = (0, 2 \times 0 - 2 \times 0, -2 \times 2 - 0 \times 0) = (0, 0, -4).$$

Теперь вычислим длину вектора $\vec{VD_1}$:

$\lvert \vec{VD_1} \rvert = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$

И, наконец, вычислим расстояние $d$:

$d = \frac{\lvert \vec{VA} \times \vec{VD_1} \rvert}{\lvert \vec{VD_1} \rvert} = \frac{\lvert (0, 0, -4) \rvert}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$