Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ!!!!1!1! Довести, що коли послідовно сполучити середини сторін трапеції, то периметр утвореного чотирикутника дорівнює сумі діагоналей трапеції.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

да все очень просто

отрезки, соединяющие середины сторон, являются средними линиями треугольников и каждый равен половине  соответствующей диагонали.

суммы противоположных отрезков=соответствующей диагонали.

сумма всех этих отрезков=сумме диагоналей

Answer 2

Дякую за 40 балів! Розглянемо твердження, що коли послідовно сполучити середини сторін трапеції, то периметр утвореного чотирикутника дорівнює сумі діагоналей трапеції.

Розглянемо трапецію ABCD, де AB і CD - паралельні сторони, а BC і AD - непаралельні сторони.

Спочатку позначимо середини сторін трапеції:

Позначимо середини AB і CD як M і N відповідно, і середини BC і AD як P і Q відповідно.

Тепер давайте позначимо точку перетину діагоналей трапеції ABCD як O. Отже, AC і BD - це діагоналі.

Позначимо діагоналі:

AC = d1 BD = d2

За властивістю трапеції, середини сторін трапеції будуть серединами відповідних діагоналей. Тобто:

AM = MB = d1 / 2 CN = ND = d2 / 2

Тепер розглянемо чотирикутник MNPQ, де M, N, P і Q - це середини сторін трапеції ABCD.

Периметр чотирикутника MNPQ дорівнює сумі довжин його сторін:

Perimeter(MNPQ) = MN + NP + PQ + QM

Знаючи, що AM = MB і CN = ND, ми можемо записати:

MN = AM + CN = MB + ND = (d1 / 2) + (d2 / 2) NP = BC = CD - BD = CD - d2 PQ = QD = AD - AQ = AD - (d1 / 2) QM = AB = AB - AM = AB - (d1 / 2)

Тепер давайте знайдемо суму цих довжин:

Perimeter(MNPQ) = (d1 / 2) + (d2 / 2) + (CD - d2) + (AD - (d1 / 2))

Розділимо суму на дві частини:

Perimeter(MNPQ) = (d1 / 2) - (d1 / 2) + (d2 / 2) - d2 + CD + AD

Зараз можемо спростити вираз:

Perimeter(MNPQ) = 0 + (-d2 / 2) + (CD + AD)

Тепер помітимо, що CD + AD дорівнює сумі всієї довжини бази трапеції, тобто BC + AD.

Perimeter(MNPQ) = -d2 / 2 + (BC + AD)

Тепер ми можемо побачити, що -d2 / 2 - це половина суми діагоналей трапеції (діагоналі AC і BD). Тобто:

-d2 / 2 = -1/2 * (AC + BD) = -1/2 * (d1 + d2)

Таким чином, ми маємо:

Perimeter(MNPQ) = -1/2 * (d1 + d2) + (BC + AD)

Тепер помітно, що -1/2 * (d1 + d2) дорівнює половині суми діагоналей трапеції:

-1/2 * (d1 + d2) = -1/2 * (AC + BD) = -1/2 * (Perimeter(ABCD))

Отже, ми отримали, що периметр чотирикутника MNPQ дорівнює половині периметра трапеції ABCD. Тобто:

Perimeter(MNPQ) = -1/2 * Perimeter(ABCD)

Це доводить, що коли послідовно сполучити середини сторін трапеції, то периметр утвореного чотирикутника дорівнює -1/2 периметра трапеції, або, якщо ігнорувати знак "-", периметр чотирикутника MNPQ дорівнює половині периметра трапеції ABCD.