Question

Докажите, что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются. Вычислите площадь четырёхугольника, если AC перпендикулярно BD; AC=6см; BD=8см

Answer 1

Ответ:

) Первый пункт задачи должен быть сформулирован так:

докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.

Воспользуемся теоремой: через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну.

Даны две пересекающиеся прямые АС и ВD. Проходящую через них плоскость обозначим α.

Прямая АС лежит в плоскости α, значит А∈α и В∈α.

Прямая ВD лежит в плоскости α, значит В∈α и D∈α.

Точки А, В, С, D принадлежат плоскости α, т.е. все вершины четырехугольника АВСD принадлежат плоскости α.

Что и требовалось доказать.

2) Рисунок к задаче прикреплен. Дан четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и известны длины этих диагоналей (смотри рисунок).

Воспользуемся формулой для вычисления площади четырехугольника по двум диагоналям и углу между ними.

Answer 2

Чтобы доказать, что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, нам необходимо показать, что они не являются косыми.

Для этого воспользуемся свойством четырехугольника: сумма углов внутри четырехугольника равна 360 градусов. Рассмотрим угол между диагоналями AC и BD, обозначим его как угол ABD.

Если угол ABD не является косым, то сумма его углов равна 180 градусов. Также известно, что сумма углов внутри четырехугольника ABCD равна 360 градусов. Таким образом, углы ABD и BDA в сумме дают 180 градусов.

С учетом перпендикулярности диагоналей AC и BD, углы ABD и CDA также будут равны 180 градусам. Значит, сумма всех четырех углов равна 720 градусов, что является невозможным.

Следовательно, угол ABD является косым, и все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости.

Для вычисления площади четырехугольника ABCD, используем формулу площади треугольника: S = 1/2 * a * b * sin(C), где a и b - длины сторон треугольника, а C - угол между ними.

В нашем случае, площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и ACD.

По условию, диагональ AC перпендикулярна диагонали BD. Значит, угол BAC равен 90 градусов, а угол BDC также равен 90 градусов.

Также из условия известно, что AC = 6 см и BD = 8 см.

Площадь треугольника ABC можно вычислить следующим образом: S₁ = 1/2 * AC * BC * sin(BAC) = 1/2 * 6 см * BC * 1 = 3 см * BC.

Аналогично, площадь треугольника ACD вычисляем по формуле: S₂ = 1/2 * AC * CD * sin(BDC) = 1/2 * 6 см * CD * 1 = 3 см * CD.

Суммируя площади треугольников ABC и ACD, получаем общую площадь четырехугольника ABCD: S = S₁ + S₂ = 3 см * BC + 3 см * CD = 3 см * (BC + CD).

Если известны значения сторон BC и CD, то можно вычислить площадь четырехугольника ABCD, умножив их сумму на 3 см.