Question

4. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 3 см і 5 см, акут між ними 120°. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі основи. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.​

Answer 1

Ответ:

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 16√30 см²

Объяснение:

Стороны основания параллелепипеда равны 3 см и 5 см, а угол между ними 120°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямой  параллелепипед  $ABCDA_{1}B_{1} C_{1} D_{1}$.

ABCD - параллелограмм, АВ =5 см, ВС =3 см , ∠В =120°.

Найдем диагональ АС параллелограмма по теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2\cdot AB\cdot BC \cdot cos B;\\AC^{2} =5^{2} +3^{2} -2\cdot 5\cdot3 \cdot cos 120^{0} =25+9-30\cdot\left(-\dfrac{1}{2} \right)=25+9+15=49;\\AC=7$

Значит, большая диагональ параллелограмма равна 7 см. По условию она равна меньшей диагонали параллелепипеда, то есть

$B D_{1}=AC =7$ см.

Найдем меньшую диагональ параллелограмма ABCD. Для этого воспользуемся свойством квадратов диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон.

$AC^{2} +BD^{2} =2\cdot( AB^{2} +BC^{2} );\\7^{2} +BD^{2} =2\cdot( 5^{2} +3^{2} );\\49+BD^{2}=2\cdot(25+9);\\49+BD^{2}=2\cdot34;\\49+BD^{2}=68;\\BD^{2}=68-49;\\BD^{2}=19;\\BD =\sqrt{19} .$

Рассмотрим Δ $BD D_{1}$ - прямоугольный.

По теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$D_{1}B ^{2} =DD_{1} ^{2}+BD ^{2} ;\\DD_{1} ^{2}=D_{1}B ^{2} -BD ^{2} ;\\DD_{1}=\sqrt{D_{1}B ^{2} -BD ^{2} } ;\\DD_{1}=\sqrt{7^{2}-(\sqrt{19} )^{2} } =\sqrt{49-19} =\sqrt{30}$

Значит, боковое ребро или высота прямого параллелепипеда равна √30 см.

Найдем площадь боковой поверхности как произведение периметра основания на высоту параллелепипеда.

$S =2\cdot(5+3)\cdot \sqrt{30} =2\cdot8\cdot\sqrt{30} =16\sqrt{30}$ см²

#SPJ5

Answer 2

Давайте позначимо сторони основи прямокутного паралелепіпеда через \(a\) і \(b\), де \(a = 3 \, \text{см}\) і \(b = 5 \, \text{см}\). Також відомо, що кут між цими сторонами дорівнює \(120^\circ\).

Менша діагональ паралелепіпеда може бути знайдена за допомогою косинусного правила для трикутника, якщо знаємо сторони та кут між ними. Косинусне правило виглядає так:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta),\]

де \(c\) - діагональ, а \(\theta\) - кут між сторонами.

Підставимо відомі значення:

\[c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ).\]

Обчислимо косинус 120 градусів:

\[\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}.\]

Підставимо це значення:

\[c^2 = 9 + 25 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}.\]

Обчислимо це:

\[c^2 = 9 + 25 + 15 = 49.\]

Отже, менша діагональ \(c\) паралелепіпеда дорівнює \(7 \, \text{см}\).

Тепер, оскільки менша діагональ паралелепіпеда рівна половині більшої, то більша діагональ дорівнює \(2c = 14 \, \text{см}\).

Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда обчислюється за формулою:

\[S_{\text{б}} = 2 \cdot (a + b) \cdot h,\]

де \(h\) - висота паралелепіпеда.

Так як кут між сторонами основи \(120^\circ\), то висота паралелепіпеда утворює рівносторонній трикутник, і кожен його кут дорівнює \(60^\circ\).

За правилами трикутників, можемо визначити висоту \(h\) через меншу діагональ \(c\):

\[h = c \cdot \sqrt{3}/2.\]

Підставимо значення:

\[h = 7 \cdot \sqrt{3}/2.\]

Тепер підставимо всі відомі значення в формулу для площі бічної поверхні:

\[S_{\text{б}} = 2 \cdot (3 + 5) \cdot (7 \cdot \sqrt{3}/2).\]

Обчислимо це:

\[S_{\text{б}} = 16 \cdot (7 \cdot \sqrt{3}/2) = 56 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2.\]

Отже, площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює \(56 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2\).