Question

Что такое прямой метод доказательства теорем и метод от "противного"? Приведите примеры. ЗАРАНЕЕ СПАСИБО!

Answer 1

Объяснение:

Вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса.

Пример в реальной жизни:

Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа»

Answer 2

Прямой метод доказательства теорем является основным и наиболее прямолинейным способом подтверждения или опровержения математического утверждения. В этом методе используется последовательность логических шагов, которые ведут к верности или ложности утверждения. Прямые методы доказательства обычно включают построение цепочки логически связанных утверждений, основанных на известных фактах, определениях и аксиомах.

Например, рассмотрим теорему: "Сумма двух четных чисел является четным числом". Для доказательства этой теоремы прямым методом можно привести следующую цепочку логических шагов:

1. Пусть a и b - два четных числа. 2. По определению, четное число можно представить в виде a = 2k, где k - целое число. 3. Значит, a = 2k и b = 2l, где l - также целое число. 4. Сумма двух чисел будет равна a + b = 2k + 2l. 5. Вынесем общий множитель 2: a + b = 2(k + l). 6. Таким образом, сумма двух четных чисел может быть представлена в виде 2m, где m = k + l - целое число. 7. По определению, 2m - это четное число. 8. Значит, сумма двух четных чисел является четным числом.

Метод от "противного" является альтернативным методом доказательства теорем. В этом методе предполагается, что утверждение, которое требуется доказать, неверно, и затем показывается, что это приводит к противоречиям или невозможным результатам. Таким образом, если предположение о неверности утверждения приводит к противоречию, то оно должно быть ложным, и следовательно, исходное утверждение верно.

Например, рассмотрим теорему: "Корень из 2 является иррациональным числом". Эту теорему можно доказать методом от противного следующим образом:

1. Предположим, что корень из 2 - это рациональное число, т.е. его можно представить в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, взаимно простые и q ≠ 0. 2. Тогда получаем (p/q)^2 = 2. 3. Возводим обе части уравнения в квадрат: p^2/q^2 = 2. 4. Переставляем члены уравнения таким образом: p^2 = 2q^2. 5. Заметим, что p^2 должно быть четным числом, так как оно равно удвоенному значению четного числа. 6. Значит, p также четно. 7. Рассмотрим выражение p = 2k, где k - целое число. 8. Подставляем это в уравнение: (2k)^2 = 2q^2. 9. Получаем 4k^2 = 2q^2, откуда q^2 = 2k^2. 10. Замечаем, что q^2 должно быть четным числом, и следовательно, q тоже четно. 11. Получили, что и p, и q являются четными числами, что противоречит их взаимной простоте. 12. Таким образом, наше предположение о том, что корень из 2 - рациональное число, является ложным. 13. Следовательно, корень из 2 является иррациональным числом.