Question

Решите неравенство (x-1)(x+3)>5

Answer 1

(x-1)(x+3)>5

х²+2х-3-5=0

х²+2х-8=0

D/4=(-b/2)² - ac=1 - 1*(-8)=9

x1,2=(-b/2 ± √(D/4))/a

х1= - 1 + 3=2; х2= - 1 - 3= - 4

Метод интервалов:  

x²+2x-8>0

+ + + + (-4) - - - (2) + + + + >x    

Точки пустые, т.к. неравенство строгое.

----------------------------------------------

С помощью параболы.

у=х²+2х-8; ветви вверх. При х=2 и х=-4 парабола пересекает ОХ. Вершина под осью ОХ. Тогда нам нужны ветви над осью. Там у>0.

Добавить схематический рисунок параболы.

-----------------о-------------о------------->x

      +           -4       -      2     +    

Через точки (-4) и (2) проходит парабола ветвями ВВЕРХ. Точки пустые.

Ответ: х∈(-∞; -4) U (2; +∞).

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала разложим его на два слагаемых:

(x-1)(x+3) > 5

(x^2 + 2x - 3) > 5

Теперь приведем его к стандартному виду:

x^2 + 2x - 3 - 5 > 0

x^2 + 2x - 8 > 0

Теперь найдем корни уравнения x^2 + 2x - 8 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = 2^2 - 4(1)(-8)

D = 4 + 32

D = 36

Так как дискриминант D > 0, то у уравнения есть два корня.

x_1 = (-b + √D)/2a

x_1 = (-2 + √36)/2

x_1 = (-2 + 6)/2

x_1 = 4/2

x_1 = 2

x_2 = (-b - √D)/2a

x_2 = (-2 - √36)/2

x_2 = (-2 - 6)/2

x_2 = -8/2

x_2 = -4

Теперь построим график функции y = x^2 + 2x - 8:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ────────────────────────── -6 -5 -4 -3 -2 -1 -8 -4 0 4 8

На графике видно, что функция положительна на интервалах (-∞, -4) и (2, +∞) и отрицательна на интервале (-4, 2).

Таким образом, уравнение x^2 + 2x - 8 > 0 выполняется на интервалах (-∞, -4) и (2, +∞). Ответом на неравенство (x-1)(x+3) > 5 является множество всех значений x, принадлежащих этим интервалам.

Итак, решение неравенства (x-1)(x+3) > 5: x ∈ (-∞, -4) и x ∈ (2, +∞).