Question

На бічних сторонах AB і BC рівнобедреного трикутника ABC взято точки E та F відповідно .Відрізки EC та FA перетинаються в точці O. Доведіть, що якщо площа чотирикутника BEOF дорівнює площі трикутникаACO, то AE=BF

Answer 1

З рівності площин в умові завдання слідує, що трикутники АBF i АCЕ piвновеликі, так як їх площі отримуються додаванням площі трикутника ЕОА до рівних площ.Так як трикутник АВС pівнобедрений, то його виcоти АМ і CN pівні, при цьому АМ та CN € також висотами трикутників АBF та САЕ відповідно. Отже, будуть рівні і відповідні цим висотам основи, тобто BF=AE, що і було потрібно довести.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, ми використаємо властивості рівнобедреного трикутника та теорему про площі подібних фігур.

Спочатку зазначимо, що в рівнобедреному трикутнику ABC, AE = EC і BF = FA, оскільки точки E і F лежать на бічних сторонах рівнобедреного трикутника і відрізки EC і FA є перпендикулярними бісектрисами цього трикутника.

Далі, за теоремою про площі подібних фігур, ми можемо стверджувати, що площа чотирикутника BEOF дорівнює площі трикутника ACO, якщо вони є подібними фігурами.

Тому, щоб довести AE = BF, ми можемо використовувати наступну логіку:

1. Площа чотирикутника BEOF дорівнює площі трикутника ACO (за умовою задачі). 2. Оскільки площа трикутника ACO дорівнює площі трикутника AEO (так як AE = EC), то площа чотирикутника BEOF дорівнює площі трикутника AEO. 3. Аналогічно, оскільки площа трикутника AEO дорівнює площі трикутника BFO (так як BF = FA), то площа чотирикутника BEOF дорівнює площі трикутника BFO. 4. Отже, за умовою площа чотирикутника BEOF дорівнює площі трикутника ACO, і водночас дорівнює площі трикутника BFO. 5. З цього випливає, що площа трикутника ACO дорівнює площі трикутника BFO. 6. Знову використовуючи властивості рівнобедреного трикутника, ми можемо стверджувати, що відрізки AO і BO є бісектрисами кутів A та B відповідно. 7. Оскільки відрізки AO і BO є бісектрисами кутів, то вони розділяють відповідні кути на дві рівні частини. 8. Тому кути AOC і BOC є рівними. 9. Оскільки кути AOC і BOC є рівними, то трикутники AOC і BOC є подібними. 10. Таким чином, ми маємо подібні трикутники AOC і BOC, а це означає, що відрізки AE і BF є рівними (за властивостями подібних трикутників).

Таким чином, ми довели, що AE = BF, що було запитано в задачі.