Question

Через середину O гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке M, а другая — катет BC в точке N. Найдите гипотенузу AB, если MN = 7 см​

Answer 1

Ответ:

Точка О - середина гипотенузы АВ. ОМ параллельна катету ВС, значит ОМ - средняя линия треугольника АВС и точка М - середина катета АС. Точно так же точка N - середина катета ВС. Следовательно, MN - средняя линия треугольника АВС, параллельная гипотенузе. По свойствам средней линии, гипотенуза АВ в два раза больше средней лигнии MN и равна 14 см.

Ответ АВ=14см.

Answer 2

Давайте обозначим длины катетов треугольника ABC через \(AC\) и \(BC\), а длину гипотенузы через \(AB\). Также обозначим точки пересечения прямых с катетами: точку пересечения с \(AC\) — \(M\), а с \(BC\) — \(N\).

Так как прямые проведены через середину гипотенузы, то мы имеем дело с подобными треугольниками. По свойству подобных треугольников отношение длин сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника одинаково.

Таким образом, мы можем записать следующее отношение:

\[\frac{AM}{AC} = \frac{BN}{BC}\]

Также у нас есть информация о длине отрезка \(MN\), который равен 7 см:

\[MN = AM + BN = 7\, \text{см}\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} \frac{AM}{AC} = \frac{BN}{BC} \\ AM + BN = 7 \end{cases}\]

Давайте рассмотрим треугольник ABC. Из свойства пропорциональности в подобных треугольниках мы можем написать:

\[\frac{AM}{AC} = \frac{BM}{BC}\]

Теперь подставим это в первое уравнение системы:

\[\frac{BM}{BC} = \frac{BN}{BC}\]

Отсюда получаем, что \(BM = BN\).

Таким образом, отрезок \(MN\) делит гипотенузу пополам. Теперь мы знаем, что \(AM = BN = \frac{MN}{2} = \frac{7}{2}\) см.

Теперь мы можем использовать второе уравнение системы:

\[AM + BN = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7 \, \text{см}\]

Таким образом, гипотенуза \(AB\) равна 7 см.