Question

Докажите, что середины всех сторон треугольника и основание любой его высоты являются вершинами равнобедренной трапеции. Даю 15 баллов​

Answer 1

Трапеция - четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

FG - средняя линия => FG||AC

=> EFGH - трапеция

EF - средняя линия => EF=BC/2

Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы.

△BHC: ∠BHC=90, HG - медиана => HG=BC/2

=> EF=HG

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный треугольник ABC с основанием BC и высотой AH. Пусть M, N и P - середины сторон AB, AC и BC соответственно.

Чтобы доказать, что MPNA является равнобедренной трапецией, необходимо показать, что MN || PH и MN = PH.

1. Докажем, что MN || PH. Рассмотрим прямую MN. Поскольку M и N - середины сторон AB и AC соответственно, то MN является средней линией треугольника ABC. По свойствам средней линии треугольника MN || BC. Также из условия MN || AP, так как AM = MB и AN = NC. Получаем, что MN || PH.

2. Докажем, что MN = PH. Рассмотрим треугольники AHB и ACP. Поскольку H - основание высоты треугольника ABC, то AH ⊥ BC и PH ⊥ BC. Также по свойству серединной линии треугольника AM = MB и AN = NC. Получаем, что треугольники AHB и ACP являются равнобедренными.

Из равнобедренности треугольников AHB и ACP следует, что AH = PH и HB = PC.

Поскольку AH = PH и MN является серединной линией треугольника ABC, то MN = AH.

Таким образом, из равенства AH = PH и MN = AH следует, что MN = PH, что доказывает, что MPNA является равнобедренной трапецией.

Таким образом, середины всех сторон треугольника и основание любой его высоты являются вершинами равнобедренной трапеции.

Ответ: середины всех сторон треугольника и основание любой его высоты являются вершинами равнобедренной трапеции.