Question

У правильного трикутника радіус вписаного кола вдвічі менший за радіус описаного кола.Доведітьце

Answer 1

Ответ:

Так як радіусом правильного трикутника є середня лінія яка = половині його основи, то радіусом описаного буде сторона основи

Answer 2

Звісно, це можна довести за допомогою формул та властивостей правильних трикутників.

Нехай у нас є правильний трикутник зі стороною \( a \) і радіусом вписаного кола \( r_1 \) та радіусом описаного кола \( r_2 \).

Спочатку з'ясуємо, які є формули для обчислення радіусів вписаного і описаного кола в правильному трикутнику.

1. Радіус вписаного кола \( r_1 \): У правильному трикутнику радіус вписаного кола можна обчислити за формулою: \[ r_1 = \frac{a}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{3})} \] де \( \frac{\pi}{3} \) - це кут у правильному трикутнику.

2. Радіус описаного кола \( r_2 \): Радіус описаного кола також можна знайти за формулою: \[ r_2 = \frac{a}{2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3})} \] де \( \frac{\pi}{3} \) - це кут у правильному трикутнику.

Тепер, якщо ми порівняємо ці формули, можемо виявити співвідношення між радіусами:

\[ r_1 = \frac{a}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{3})} \] \[ r_2 = \frac{a}{2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3})} \]

Кут \( \frac{\pi}{3} \) для правильного трикутника дорівнює 60 градусам. Тоді: \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Тепер можемо підставити ці значення у формули для \( r_1 \) та \( r_2 \):

\[ r_1 = \frac{a}{2 \cdot \sqrt{3}} \] \[ r_2 = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Тепер ми можемо порівняти ці два радіуси:

\[ r_1 = \frac{a}{2 \cdot \sqrt{3}} \] \[ r_2 = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Ми бачимо, що \( r_1 = \frac{1}{2} \cdot r_2 \), тобто радіус вписаного кола у правильному трикутнику дійсно вдвічі менший за радіус описаного кола.