Question

30 мин до сдачи!!!!!!!!Помогите пожалуйста с геометрией! Задан вектор а(2; -4) и точка A (−6; 2). Запишите уравнения прямой, проходящей через точку A, если: а) прямая параллельна вектору а б) вектор а является вектором нормали

Answer 1

Ответ:

Подробное решение во вложении

Answer 2

Давайте решим по порядку:

а) Прямая параллельна вектору \( \mathbf{a} = (2, -4) \).

Уравнение прямой можно записать в виде:

\[ \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v} \]

где: - \(\mathbf{r} = (x, y)\) - точка на прямой, - \(\mathbf{r}_0 = (x_0, y_0)\) - произвольная точка на прямой, - \(\mathbf{v} = (a, b)\) - направляющий вектор прямой, - \(t\) - параметр.

Так как прямая параллельна вектору \(\mathbf{a}\), то \(\mathbf{v} = \mathbf{a}\). Выберем точку \(\mathbf{r}_0\) равную данной точке \(A(-6, 2)\).

Тогда уравнение прямой будет:

\[ \mathbf{r} = (-6, 2) + t(2, -4) \]

Раскроем скобки:

\[ \begin{cases} x = -6 + 2t \\ y = 2 - 4t \end{cases} \]

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку \(A\) и параллельной вектору \(\mathbf{a}\).

б) Вектор \(\mathbf{a}\) является вектором нормали.

Если вектор \(\mathbf{a}\) является вектором нормали, то прямая, проходящая через точку \(A(-6, 2)\), будет перпендикулярна к этому вектору. Вектор нормали перпендикулярен прямой, и его координаты можно использовать в уравнении прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точку \(\mathbf{r}_0 = (-6, 2)\) и перпендикулярной вектору нормали \(\mathbf{a} = (2, -4)\), можно записать в виде:

\[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) = 0 \]

Раскрываем скалярное произведение:

\[ (2, -4) \cdot ((x, y) - (-6, 2)) = 0 \]

\[ 2(x + 6) - 4(y - 2) = 0 \]

Раскрываем скобки:

\[ 2x + 12 - 4y + 8 = 0 \]

Упрощаем:

\[ 2x - 4y + 20 = 0 \]

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку \(A\) и перпендикулярной вектору \(\mathbf{a}\).