Question

Задано Вершини трикутника ABC A(-5,1) B(3,-2) C(3,4). Знайти: 1) Координати описаного кола 2) косинус кута BAC 3) Координати точик D, яка ділить відрізок BC у відношенні до 2:3

Answer 1

Задано Вершини трикутника ABC A(-5,1), B(3,-2), C(3,4).  

Знайти:

1) Координати описаного кола. Это задание надо, скорее всего, понимать так: найти уравнение окружности, описанной около треугольника АВС.

Для этого надо определить координаты центра этой окружности и найти её радиус.

Решение возможно по нескольким вариантам.

Вот один из них.

Центр описанной окружности находится как точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Есть формула, по которой сразу определяется уравнение серединного перпендикуляра по координатам вершин:

(x_1-x_2 )(x-(x_1+x_2)/2)+(y_1-y_2 )(y-(y_1+y_2)/2)=0.

Находим уравнение серединного перпендикуляра к стороне АВ.

Подставим координаты вершин А и В.

(-5-3)(x – ((-5+3)/2) + (1-(-2))(y – (1+(-2))/2) = 0,

-8(x + 1) + 3(y + (1/2)) = 0,

-8x – 8 + 3y + (3/2) = 0, умножим на (-2) и получаем уравнение:

16х – 6у + 13 = 0.

Второй перпендикуляр определяется просто, так как сторона ВС,  имеющая точки с одинаковыми абсциссами, - это вертикальный отрезок прямой х = 3 между ординатами у = -2 и у = 4.

Середина её равна у = (-2+4)/2 = 1.

Значит, серединный перпендикуляр к стороне ВС – это горизонтальная прямая у = 1.

Находим их точку пересечения, подставив в уравнение первой прямой значение у = 1:

16х – 6*1 + 13 = 0, отсюда х = -7/16.

Получены координаты центра описанной окружности: О((-7/16); 1).

Далее надо найти радиус окружности.

Он равен расстоянию от центра окружности до любой вершины.

Находим R = OA = √((-5-(-7/16))² + (1-1)²) = 73/16 = 4,5625.

Ответ: уравнение окружности (x + (7/16))² + (y – 1)² = (73/16)².

2) косинус кута BAC.

Находим векторы АВ и АС.

AB = {Bx - Ax; By - Ay} = {3 – (-5); -2 - 1} = {8; -3},

AC = {Cx - Ax; Cy - Ay} = {3 – (-5); 4 - 1} = {8; 3}.

Модули векторов равны:

|AB| = √(ABx2 + ABy2) = √(82 + (-3)2) = √(64 + 9) = √73,

|AC| = √(ACx2 + ACy2) = √(82 + 32) = √64 + 9 = √73.

Ответ: cos(AB_AC) = (8*8 + (-3)*3)/(√73*√73) = 55/73  ≈ 0,7534.

Угол А равен  0,7175 радиан или 41,1121  градуса.

3) Координати точки D, яка ділить відрізок BC у відношенні до 2:3.

Для этого задания применяется формула:

x(D)=(x(B) + λ*x(C))/(1 + λ), где λ – отношение длин отрезков.

Получаем: x(D)=(3 + (2/3)*3)/(1 + (2/3)) = 3.

                  y(D)=(-2 + (2/3)*4)/(1 + (2/3)) = 2/5 = 0,4.

Ответ: точка D(3; 0,4).

Answer 2

Задання вершин трикутника

Задано вершини трикутника ABC з координатами A(-5,1), B(3,-2) та C(3,4).

1) Координати описаного кола

Описане коло трикутника ABC - це коло, яке проходить через всі три вершини трикутника. Щоб знайти його координати, ми можемо скористатись центром кола і його радіусом.

a) Центр кола:

Центр описаного кола трикутника ABC знаходиться в точці перетину перпендикулярних бісектрис сторін трикутника. Щоб знайти центр кола, ми можемо знайти середні значення координат вершин трикутника.

Координати центру кола (x₀, y₀) можна обчислити за формулами:

x₀ = (x₁ + x₂ + x₃) / 3 y₀ = (y₁ + y₂ + y₃) / 3

Застосуємо ці формули до координат вершин трикутника ABC:

x₀ = (-5 + 3 + 3) / 3 = 1 / 3 y₀ = (1 - 2 + 4) / 3 = 3 / 3 = 1

Таким чином, координати центру описаного кола трикутника ABC є (1/3, 1).

b) Радіус кола:

Радіус описаного кола трикутника ABC можна знайти, використовуючи відстань від центру кола до однієї з вершин трикутника. Відстань між двома точками (x₁, y₁) та (x₂, y₂) можна обчислити за формулою:

d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Обчислимо відстань від центру кола до вершини A:

d = sqrt((1/3 - (-5))² + (1 - 1)²) = sqrt((8/3)² + 0²) = sqrt(64/9) = 8/3

Таким чином, радіус описаного кола трикутника ABC дорівнює 8/3.

Отже, координати описаного кола трикутника ABC є (1/3, 1), а його радіус дорівнює 8/3.

2) Косинус кута BAC

Щоб знайти косинус кута BAC, ми можемо скористатись формулою косинуса для трикутника. Формула косинуса має вигляд:

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)

де A - кут проти сторони a, b і c - довжини сторін трикутника.

У нашому випадку, кут BAC проти сторони BC, сторони AB мають довжину a, BC - довжину b, а AC - довжину c.

Для обчислення косинуса кута BAC нам потрібно знати довжини сторін AB, BC і AC. Ми можемо обчислити їх, використовуючи формулу відстані між двома точками:

d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Обчислимо довжини сторін AB, BC і AC:

AB = sqrt((3 - (-5))² + (-2 - 1)²) = sqrt(8² + (-3)²) = sqrt(64 + 9) = sqrt(73)

BC = sqrt((3 - 3)² + (4 - (-2))²) = sqrt(0² + 6²) = sqrt(36) = 6

AC = sqrt((3 - (-5))² + (4 - 1)²) = sqrt(8² + 3²) = sqrt(64 + 9) = sqrt(73)

Тепер, враховуючи довжини сторін AB, BC і AC, можемо обчислити косинус кута BAC:

cos(BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) = (73 + 73 - 6²) / (2 * sqrt(73) * sqrt(73)) = 146 / (2 * 73) = 2 / 2 = 1

Таким чином, косинус кута BAC дорівнює 1.

3) Координати точки D, яка ділить відрізок BC у відношенні 2:3

Щоб знайти координати точки D, яка ділить відрізок BC у відношенні 2:3, ми можемо скористатись формулою внутрішньої точки між двома точками.

Для обчислення координат точки D, нам потрібно знати координати точок B і C, а також відношення, у якому відрізок BC ділиться. В даному випадку, відношення 2:3 означає, що відрізок BD буде дорівнювати 2/5 довжини відрізка BC, а відрізок CD буде дорівнювати 3/5 довжини відрізка BC.

Координати точки D можна обчислити за наступними формулами:

x_D = ((x_C * d_1) + (x_B * d_2)) / (d_1 + d_2) y_D = ((y_C * d_1) + (y_B * d_2)) / (d_1 + d_2)

де (x_B, y_B) - координати точки B, (x_C, y_C) - координати точки C, d_1 - довжина відрізка BD, d_2 - довжина відрізка CD.

Обчислимо координати точки D:

d_1 = (2/5) * BC = (2/5) * 6 = 12/5

d_2 = (3/5) * BC = (3/5) * 6 = 18/5

x_D = ((3 * (12/5)) + (3 * (18/5))) / ((12/5) + (18/5)) = (36/5 + 54/5) / (30/5) = 90/5 / 6/5 = 90/5 * 5/6 = 90/6 = 15

y_D = ((4 * (12/5)) + (-2 * (18/5))) / ((12/5) + (18/5)) = (48/5 - 36/5) / (30/5) = 12/5 / 6/5 = 12/5 * 5/6 = 12/6 = 2

Таким чином, координати точки D, яка ділить відрізок BC у відношенні 2:3, є (