Question

Один из углов треугольника равен 120°, а противолежащая сторона равна 2√19 см. Две другие стороны относятся как 2:3. Найди неизвестные стороны.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Нехай k - коефіціент пропорційності

Тоді одна сторона 2k, а інша - 3k

За теоремою косинусів

$({2\sqrt{19}})^{2} =(2k)^2 + (3k)^2 - 2k*3k*cos(120)\\76 = 13k^2 - 6k^{2} * (-\frac{1}{2} )\\13k^{2} + 3k^{2} =76\\16k^2 = 76\\k^2 = \frac{19}{4} \\k = \sqrt{\frac{19}{4}} \\k = \frac{\sqrt{19} }{2}$

Отже, відповідь: $\sqrt{19}, \frac{3\sqrt{19} }{2}$

Answer 2

Давайте обозначим углы треугольника \(ABC\), где угол \(A\) равен \(120^\circ\), а противолежащая сторона \(a\) равна \(2\sqrt{19}\) см. Также обозначим две другие стороны как \(b\) и \(c\), и известно, что они относятся как \(2:3\).

У нас есть следующая информация:

\[ \begin{align*} \angle A &= 120^\circ \\ a &= 2\sqrt{19}\ \text{см} \\ \frac{b}{c} &= \frac{2}{3} \end{align*} \]

Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), мы можем найти оставшиеся два угла:

\[ \begin{align*} \angle B + \angle C &= 180^\circ - \angle A \\ \angle B + \angle C &= 180^\circ - 120^\circ \\ \angle B + \angle C &= 60^\circ \end{align*} \]

Теперь, учитывая, что \(\frac{b}{c} = \frac{2}{3}\), мы можем ввести углы в отношение:

\[ \begin{align*} \frac{\angle B}{\angle C} &= \frac{2}{3} \\ \frac{\angle B}{60^\circ - \angle B} &= \frac{2}{3} \end{align*} \]

Решая этот уравнение, найдем углы \(\angle B\) и \(\angle C\). После этого мы можем использовать законы синусов для нахождения сторон треугольника:

\[ \begin{align*} \frac{\sin A}{a} &= \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \end{align*} \]

В этом случае:

\[ \begin{align*} \frac{\sin 120^\circ}{2\sqrt{19}} &= \frac{\sin \angle B}{b} = \frac{\sin \angle C}{c} \end{align*} \]

Решив эту систему уравнений, мы сможем найти значения сторон \(b\) и \(c\).