Question

Висота і медіана, проведені з однієї вершини трикутника,розділили його кут на три рівні частини. Знайдіть кути трикутника.​

Answer 1

Ответ:

∠С=30°,∠А=90°,∠В=60°

Объяснение:

Дано: AD⊥BC, ВО=ОС. ∠ВАD=∠DАО=∠ОАС

Найти: ∠А,∠В,∠С ΔАВС

Пусть ∠ВАD=∠DАО=∠ОАС=х

1) Рассмотрим ΔВАО. АD - высота. ∠ВАD=∠DАО ⇒ АD - биссектриса.

Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то треугольник равнобедренный. ⇒ΔВАО - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой. ⇒

ВD=DО= $\frac{1}{2}$ ВО= $\frac{1}{2}$ОС.

2) Дополнительное построение: Проведём ОМ⊥АС.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АDО и АМО.

∠DАО=∠ОАС - по условию, АО - общая.

• Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

⇒ΔАDО = ΔАМО

Из равенства треугольников следует равенство катетов:

DО = МО =$\frac{1}{2}$ ВО= $\frac{1}{2}$ОС.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ОМС (∠М=90°).

Из доказанного выше МО=$\frac{1}{2}$ОС. Т.е. катет МО равен половине гипотенузы ОС.

• Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30°.

Следовательно ∠С=30°

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник АDC(∠D=90°).

По свойству острых углов прямоугольного треугольника

∠DАС=90°-∠С=90°-30°=60°.

По условию ∠DАС=2х ⇒ 2х=60°, х=30°

5) ∠ВАС=3х=3*30°=90°

∠А треугольника АВС = 90°

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠В треугольника АВС будет равен: ∠В=180°-∠А-∠С=180°-90°-30°=60°

Answer 2

Припустимо, що трикутник ABC має вершину A, висоту AH та медіану AM, які розділяють кут BAC на три рівні частини.

Оскільки висота та медіана розділяють кут BAC на три рівні частини, то кут BAH дорівнює куту HAM, а кут CAM дорівнює куту MAH.

Позначимо кути BAH, HAM та CAM через α. Тоді кути MAH та CAH також дорівнюють α.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то маємо:

α + α + α + α + α + α = 180°

6α = 180°

α = 30°

Таким чином, кути BAC, BAH та CAM дорівнюють 30°, а кути MAH та CAH також дорівнюють 30°.

Отже, кути трикутника ABC дорівнюють 30°, 30° та 120°.