Question

Доведіть, що чотирикутник АВСD є паралелограмом,якщо:1)А(-2; -3) В(-1;1) С(1;-1) D(3;-1;-5)

Answer 1

Ответ:

B (-1;1) Правильный ответ

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, потрібно перевірити дві умови:

1) Протилежні сторони чотирикутника АВСD мають однакову довжину. 2) Протилежні сторони чотирикутника АВСD паралельні.

1) Для перевірки рівності довжин сторін можна використовувати формулу відстані між двома точками в просторі. В даному випадку, довжину сторін можна знайти за допомогою формули:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

де (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2) - координати двох точок, а d - відстань між ними.

Довжину сторін можна обчислити за допомогою цієї формули для сторін AB, BC, CD і DA:

AB = sqrt((-1 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2 + (-1 - (-5))^2) = sqrt(1 + 16 + 16) = sqrt(33), BC = sqrt((1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2 + (-5 - (-1))^2) = sqrt(4 + 4 + 16) = sqrt(24), CD = sqrt((3 - 1)^2 + (-1 - (-1))^2 + (-5 - (-1))^2) = sqrt(4 + 0 + 16) = sqrt(20), DA = sqrt((-2 - 3)^2 + (-3 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2) = sqrt(25 + 4 + 0) = sqrt(29).

Отже, ми отримали, що AB = CD = sqrt(33), BC = DA = sqrt(24), що означає, що протилежні сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину.

2) Для перевірки паралельності сторін можна порівняти їх вектори напрямку. Якщо вектори напрямку протилежних сторін рівні, то сторони паралельні.

Вектор напрямку для сторони AB можна знайти за допомогою формули:

AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (-1 - (-2), 1 - (-3), -1 - (-5)) = (1, 4, 4).

Аналогічно, вектори напрямку для сторін BC, CD і DA будуть:

BC = (1 - (-1), -1 - 1, -5 - (-1)) = (2, -2, -4), CD = (3 - 1, -1 - (-1), -5 - (-1)) = (2, 0, -4), DA = (-2 - 3, -3 - (-1), -1 - (-1)) = (-5, -2, 0).

Якщо вектори напрямку протилежних сторін рівні, то сторони паралельні. У даному випадку, ми бачимо, що AB = CD = (1, 4, 4), BC = DA = (2, -2, -4). Отже, протилежні сторони чотирикутника ABCD паралельні.

Таким чином, ми довели, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, оскільки виконуються обидві умови: протилежні сторони мають однакову довжину і паралельні.