Question

Даю 100 баллов Площадь треугольника на 44 см2 больше площади подобного треугольника. Периметр меньшего треугольника относится к периметра большего треугольника как 5:6. Определи площадь меньшего из подобных треугольников

Answer 1

Ответ:      100 см² .  

Объяснение:

      Нехай ΔАВС ΔА₁В₁С₁  ;  S ΔАВС = S ΔА₁В₁С₁ + 44 см² ;  Р₁/Р = 5/6 ;

Позначимо   S = S ΔАВС ;    S₁ = S ΔА₁В₁С₁ .  

Нехай AB/AB = BC/BC = AC/AC = k .  Для подібних трикутників

Р₁/Р = k  i  S₁/S = k² , тому  S₁/S = ( P₁/P )² . Тому для наших даних

S₁/( S₁ + 44 ) = ( 5/6 )² ;

S₁/( S₁ + 44 ) = 25/36 ;

36*S = 25( S₁ + 44 ) ;

36*S₁ = 25*S₁ + 1100 ;

 11*S₁ = 1100 ;

     S₁ = 100 .      Отже , S₁ =  S ΔА₁В₁С₁ = 100 см² .

Answer 2

Пусть площадь меньшего треугольника равна S, а площадь большего треугольника равна S + 44.

Так как площади треугольников относятся как квадраты их сторон, то отношение площадей треугольников равно отношению квадратов их сторон.

Пусть a и b - стороны меньшего треугольника, а A и B - стороны большего треугольника.

Тогда отношение площадей треугольников равно (a^2)/(A^2) = (b^2)/(B^2).

Также из условия задачи известно, что периметр меньшего треугольника относится к периметру большего треугольника как 5:6.

Пусть p и P - периметры меньшего и большего треугольников соответственно.

Тогда отношение периметров треугольников равно p/P = 5/6.

Из формулы для периметра треугольника p = 2a + 2b, P = 2A + 2B.

Тогда отношение периметров можно переписать как (2a + 2b)/(2A + 2B) = 5/6.

Разделим оба уравнения и получим (a^2)/(A^2) = (b^2)/(B^2) = (5/6)^2.

Так как площадь треугольника равна (1/2) * сторона * высота, то можно записать:

S = (1/2) * a * h, где h - высота меньшего треугольника.

Аналогично, S + 44 = (1/2) * A * H, где H - высота большего треугольника.

Так как отношение сторон треугольников равно отношению площадей, то можно записать:

a/A = b/B = sqrt((5/6)^2) = 5/6.

Тогда можно переписать выражение для высоты меньшего треугольника:

h = (2S)/(a) = (2S)/(A) * (A/a) = 2 * (S/A) * (A/a) = 2 * (S/A) * (6/5) = (12/5) * (S/A).

Аналогично, высоту большего треугольника можно записать:

H = (2(S + 44))/(A) = (2(S + 44))/(a) * (a/A) = 2 * ((S + 44)/A) * (a/A) = (2/5) * (S + 44).

Подставим выражения для h и H в формулы для площадей треугольников:

S = (1/2) * a * h = (1/2) * a * (12/5) * (S/A) = (6/5) * S.

S + 44 = (1/2) * A * H = (1/2) * A * (2/5) * (S + 44)/A = (1/5) * (S + 44).

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые с S в одну сторону:

S - (6/5) * S = -44/5.

Упростим выражение:

(5/5 - 6/5) * S = -44/5.

(-1/5) * S = -44/5.

Умножим обе части уравнения на -5:

S = 44.

Таким образом, площадь меньшего треугольника равна 44 квадратных сантиметра.