Question

В прямоугольном треугольнике ABC высота АН из прямого угла А делит противоположную сторону на отрезки равные 36мм и 64мм. Найти: высоту, стороны треугольника и площадь АВС​

Answer 1

${}$  Первое, что мы делаем - переходим к подобному треугольнику, но меньшего размера. Это делается для упрощения вычислений. Только нужно в конце вернуться к первоначальным размерам. Поскольку наибольший общий делитель чисел 36 и 64 равен 4, перейдем к треугольнику, подобному данному, у которого высота делит гипотенузу на отрезки 9 и 16. У такого треугольника высота будет равна среднему геометрическому чисел 9 и 16, то есть корню квадратному из произведения 9 и 16, то есть произведению 3 и 4, то есть 12 (кто не знает этого факта, с легкостью получит его из подобия треугольников, на которые делит высота исходный треугольник).

Катет треугольника можно искать как среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, а можно с помощью теоремы Пифагора. Более того, если Вы знаете египетский треугольник 3-4-5, Вам и Пифагор не потребуется. А именно, один катет ищется как гипотенуза треугольника с катетами 9 и 12, который подобен египетскому с коэффициентом подобия 3, поэтому он равен 5·3=15, а второй катет ищется как гипотенуза треугольника с катетами 12 и 16, который подобен египетскому с коэффициентом подобия 4, поэтому он равен 5·4=20. Ну а площадь может быть найдена как половина произведения катетов, или как половина произведения высоты на гипотенузу. Получается 150.

Остается вернуться к первоначальным размерам. Для этого полученные длины высоты и катетов нужно умножить на 4, а площадь на квадрат четверки, то есть на 16.

Ответ: катеты 60 и 80, гипотенуза 36+64=100, высота 48, площадь 2400.    

Answer 2

Дано: высота треугольника АН делит противоположную сторону на отрезки длиной 36 мм и 64 мм.

Пусть АВ - противоположная сторона треугольника, тогда АН = 36 мм и НВ = 64 мм.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АНВ:

АВ² = АН² + НВ²

АВ² = 36² + 64²

АВ² = 1296 + 4096

АВ² = 5392

АВ = √5392

АВ ≈ 73.42 мм

Таким образом, сторона треугольника АВ ≈ 73.42 мм.

Площадь треугольника АВС можно найти по формуле:

S = (1/2) * АВ * АН

S = (1/2) * 73.42 * 36

S ≈ 1323.12 мм²

Таким образом, площадь треугольника АВС ≈ 1323.12 мм².

Ответ: высота треугольника АН = 36 мм, сторона треугольника АВ ≈ 73.42 мм и площадь треугольника АВС ≈ 1323.12 мм².