Question

кут між площинами трикутників АВС і АВК дорівнює 60°.СМ і КМ висоти цих трикутників. СМ=КМ = 4√3.см. Знайти довжину відрізка СК.

Answer 1

Ответ:

СК = 4√3 см.

Объяснение:

Основания высот СМ и СК треугольников АВС и АВК  - точка М.  Следовательно,  плоскость СМК перпендикулярна линии пересечения плоскостей АВС и АВК и угол между плоскостями АВС и АВК - угол СМК = 60° (по определению: "Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям)".

В треугольнике СМК СМ=КМ (дано), а угол при вершине ∠М= 60°. Следовательно, треугольник СМК - правильный и СК = СМ = КМ = 4√3 см.

Или так:

СМ=КМ = 4√3 см (дано).

Тогда по теореме косинусов в треугольнике СМК:

СК² = СМ²+КМ² - 2·СМ·КМ·Сos60  = 2·СМ²(1-Сos60) =>

СК² = 2·(4√3)²·(1-1/2) = 48 см.

СК = √48 = 4√3 см.

Answer 2

Запишемо умову задачі:

Висоти трикутників АВС і АВК, СМ і КМ, мають однакову довжину, тобто СМ = КМ = 4√3 см.

Кут між площинами трикутників АВС і АВК дорівнює 60°.

Нам потрібно знайти довжину відрізка СК.

Оскільки висоти трикутників однакові, то трикутники АСМ і АКМ є рівнобедреними трикутниками.

Використаємо властивість рівнобедреного трикутника: медіана, що проведена до основи рівнобедреного трикутника, є висотою і поділяє основу навпіл.

Позначимо довжину відрізка СК як х.

Тоді довжини відрізків АС і АК також будуть дорівнювати х.

За теоремою косинусів для трикутника АСК маємо: х² = х² + (4√3)² - 2х⋅(4√3)⋅cos60°.

Скористаємося тригонометричним співвідношенням cos60° = 1/2: х² = х² + 48 - 8√3⋅х⋅(1/2).

Спростимо вираз: х² = х² + 48 - 4√3⋅х.

Віднімемо х² з обох боків рівняння: 0 = 48 - 4√3⋅х.

Перенесемо 48 на праву сторону: 4√3⋅х = 48.

Поділимо обидві частини на 4√3: х = 48 / (4√3) = 12 / √3 = 12√3 / 3 = 4√3.

Отже, довжина відрізка СК дорівнює 4√3 см.