Question

Прямая 5x-12y+4=0 - касательная к окружности с центром в точке (2;-1). Составьте уравнение этой окружности.

Answer 1

Ответ: (x-2)²+(y+1)²=4.

Объяснение:

Уравнение окружности имеет вид: (x-a)²+(y-b)²=R², где x=a и y=b - координаты её центра, R - радиус. По условию, a=2 и b=-1, так что нам остаётся найти R. Радиус окружности R лежит на прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной к касательной. Запишем уравнение данной по условию прямой в виде 12*y=5*x+4, или y=5/12*x+1/3. Отсюда следует, что угловой коэффициент этой прямой k1=5/12. Тогда угловой коэффициент k2 прямой, на которой лежит радиус, находится по формуле k2=-1/k1=-12/5. Составим уравнение этой прямой в виде y-y0=k2*(x-x0), где x0=2 и y0=-1 - координаты центра окружности. Подставляя указанные значения, получаем уравнение y+1=-12/5*(x-2), или 12*x+5*y-19=0. Для нахождения точки касания составляем систему уравнений:

5*x-12*y+4=0

12*x+5*y-19=0

Решая её, находим x=16/13 и y=11/13 - координаты точки касания. А так как радиус окружности равен расстоянию между её центром и точкой касания, то R=√[(2-16/13)²+(-1-11/13)²]=√(676/169)=√4=2. Поэтому уравнение окружности имеет вид: (x-2)²+(y+1)²=4.

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение окружности, если дано, что прямая 5x-12y+4=0 является касательной к окружности с центром в точке (2,-1), мы можем использовать следующий подход.

Нахождение радиуса окружности:

Так как прямая является касательной к окружности, то расстояние от центра окружности до этой прямой будет равно радиусу окружности. Используем формулу расстояния от точки до прямой:

d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой Ax + By + C = 0.

В нашем случае, уравнение прямой 5x - 12y + 4 = 0 имеет коэффициенты A = 5, B = -12 и C = 4. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

d = |5*2 - 12*(-1) + 4| / sqrt(5^2 + (-12)^2) = |10 + 12 + 4| / sqrt(25 + 144) = |26| / sqrt(169) = 26 / 13 = 2

Таким образом, радиус окружности равен 2.

Нахождение уравнения окружности:

Уравнение окружности с центром в точке (h, k) и радиусом r имеет вид:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Подставляя значения центра (h, k) и радиуса r, получаем:

(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 2^2

Упрощая уравнение, получаем итоговый ответ:

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4

Таким образом, уравнение искомой окружности: (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4.